↔️ Absolutní hodnota

Vzdálenost

O čem to je

Ujdeš 3 km na sever, nebo 3 km na jih. Směr je jiný, ale nohy tě bolí stejně – ušel jsi 3 km. Někdy nás zajímá jen jak daleko, ne kterým směrem.

Přesně to měří absolutní hodnota. Hodí se u odchylek (o kolik se měření liší od správné hodnoty), u tolerancí ve výrobě nebo u rozdílu teplot.

Nové pojmy

Číselná osaPřímka s čísly: nula uprostřed, kladná čísla vpravo, záporná vlevo. Mezi sousedními celými čísly je vždy stejný kousek.

Opačné čísloČíslo na druhé straně od nuly, stejně daleko. Liší se jen znaménkem.Opačné k 4 je −4, opačné k −7 je 7.

Absolutní hodnota |a|Vzdálenost čísla a od nuly na číselné ose. Píše se mezi dvě svislé čárky. Vzdálenost nemůže být záporná, proto |a| ≥ 0.|4| = 4, |−4| = 4, |0| = 0.

Zkus to: začni na −4 a skákej k nule. Kolik dílků musíš urazit? Přesně tolik je |−4|.

Vzdálenost dvou čísel

Vzdálenost čísel a, bJe to |a − b|. Nezáleží na pořadí: |a − b| = |b − a|.Vzdálenost 3 a 8 je |3 − 8| = |−5| = 5.

Jak daleko je od sebe −3 a 5?

|5 − (−3)| = |5 + 3| = 8. Na ose: z −3 do 0 jsou 3 dílky, z 0 do 5 dalších 5, celkem 8.

Rovnice: hledám body v dané vzdálenosti

Řešení rovniceČíslo, které po dosazení za x udělá z rovnice pravdivý výrok.x = 4 je řešením |x| = 4, protože |4| = 4.

|x| = 4 čti: „x je od nuly vzdálené 4“. Takové body jsou dva: 4 a −4. |x − 3| = 5 čti: „x je od trojky vzdálené 5“ → 3 + 5 = 8 a 3 − 5 = −2.

|x| = −2 nemá řešení – žádná vzdálenost není záporná. |x + 1| = 0 má jediné řešení x = −1 (od −1 jsi vzdálený 0 jen v samotném bodě −1).

Nerovnice: blíž, nebo dál

Řeš |x − 2| < 3.

Hledám čísla, která jsou od 2 blíž než 3. Od 2 jdu o 3 doleva na −1 a o 3 doprava na 5. Krajní body nepatří (vzdálenost by byla přesně 3). Řešení x ∈ (−1; 5).

Řeš |x| ≥ 2.

Čísla, která jsou od nuly aspoň 2 daleko: vlevo od −2 a vpravo od 2, krajní body patří. x ∈ (−∞; −2⟩ ∪ ⟨2; ∞).

✗|a + b| = |a| + |b| vždy

✓|a + b| ≤ |a| + |b|

Když mají a a b různá znaménka, část se „vyruší“: |1 + (−1)| = 0, ale |1| + |−1| = 2.

|a| = vzdálenost a od nuly, |a − b| = vzdálenost a od b. |x − c| = r má řešení c ± r; „< r“ = blíž než r (jeden úsek), „> r“ = dál než r (dva kusy osy).

Odstraň čárky

O čem to je

Představa vzdálenosti je skvělá u jednoduchých rovnic. U rovnice |x − 1| + |x + 2| = 5 už ale „neuvidíš“ výsledek. Potřebuješ spolehlivý postup, jak se svislých čar zbavit.

Ten postup se jmenuje metoda nulových bodů a funguje vždy.

Nové pojmy

Absolutní hodnota – přesněJe-li číslo nezáporné, nechá ho beze změny. Je-li záporné, změní mu znaménko: |x| = x pro x ≥ 0 a |x| = −x pro x < 0.|5| = 5. |−7| = −(−7) = 7. Zápis −x u záporného x tedy dává kladné číslo.

Nulový bodHodnota x, pro kterou je výraz uvnitř absolutní hodnoty roven nule. Na jedné straně od něj je výraz kladný, na druhé záporný.Pro |x − 1| je nulový bod 1, pro |x + 2| je to −2.

IntervalÚsek číselné osy. ⟨ ⟩ = krajní bod patří, ( ) = nepatří.(−∞; −2) jsou všechna čísla menší než −2.

Jednoduchý případ: dvě větve

Řeš |x − 3| = 5.

Uvnitř je buď 5, nebo −5. x − 3 = 5 → x = 8. x − 3 = −5 → x = −2. Zkouška: |8 − 3| = 5 ✓, |−2 − 3| = 5 ✓.

Metoda nulových bodů

Najdi nulové body všech výrazů v | |.

Vyznač je na ose – rozdělí ji na intervaly.

V každém intervalu zjisti znaménko výrazu (dosaď libovolné číslo z intervalu) a odstraň | |: kladný výraz opiš, zápornému dej před závorku minus.

Vyřeš obyčejnou rovnici.

Zkontroluj, že výsledek leží v intervalu, ve kterém jsi počítal. Jinak ho zahoď.

Najdi na ose nulové body −2 a 1. Kolik intervalů vznikne? (Tři: vlevo od −2, mezi −2 a 1, vpravo od 1.)

Řeš |x − 1| + |x + 2| = 5.

Nulové body: 1 a −2. • x < −2: oba výrazy záporné → −(x − 1) − (x + 2) = 5 → −2x − 1 = 5 → x = −3. Leží v intervalu ✓. • −2 ≤ x < 1: první záporný, druhý nezáporný → −(x − 1) + (x + 2) = 5 → 3 = 5, nemá řešení. • x ≥ 1: oba nezáporné → (x − 1) + (x + 2) = 5 → 2x + 1 = 5 → x = 2 ✓. Řešení: x = −3 nebo x = 2.

✗V intervalu x ≥ 1 mi vyšlo x = −5, tak ho přidám k řešení.

✓Výsledek, který neleží ve svém intervalu, zahodím.

Tvar bez | | jsem odvodil jen pro čísla z daného intervalu. Pro jiná čísla ta rovnice vůbec neplatí.

Ještě dva rychlé případy: |x| = −2 nemá řešení (absolutní hodnota není záporná). |x + 1| = 0 platí jen pro x + 1 = 0, tedy x = −1.

🔢Číselné obory⚡Mocniny a odmocniny