🔢 Číselné obory

Jak čísla vznikala

O čem to je

Nejdřív lidé počítali ovce: 1, 2, 3… Pak si začali půjčovat a potřebovali zapsat dluh – vznikla záporná čísla. Pak dělili chleba na díly – vznikly zlomky. A nakonec zjistili, že úhlopříčku čtverce se stranou 1 nejde zapsat ani zlomkem.

Každá nová skupina čísel vznikla, protože ta předchozí nestačila. Těmto skupinám říkáme číselné obory. Když víš, v jakém oboru počítáš, víš, jaké výsledky jsou vůbec možné.

Nové pojmy

Přirozená čísla ℕČísla, kterými počítáme kusy: 1, 2, 3, 4, … (v české škole se nula do ℕ obvykle nepočítá).Počet žáků ve třídě je vždy přirozené číslo.
Celá čísla ℤPřirozená čísla, nula a čísla k nim opačná: …, −2, −1, 0, 1, 2, …Teplota −5 °C nebo dluh −200 Kč.
Racionální čísla ℚČísla, která jdou zapsat jako zlomek: celé číslo lomeno přirozeným číslem.0,75 = 3/4, −2,5 = −5/2, i 7 = 7/1.
Iracionální číslaČísla na číselné ose, která nejde zapsat zlomkem.√2 ≈ 1,414… (úhlopříčka čtverce se stranou 1) nebo π ≈ 3,14159…
Reálná čísla ℝRacionální a iracionální čísla dohromady – všechny body číselné osy.

Matrjoška

Obory do sebe zapadají jako ruské panenky: každé přirozené číslo je celé, každé celé je racionální, každé racionální je reálné. Zapisujeme to znakem ⊂ („je obsažena v“):

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Roztřiď čísla. Tip: nejdřív zkus číslo zjednodušit – √9 je přece 3.

Desetinná čísla prozradí obor

Desetinný rozvojČíslo zapsané s desetinnou čárkou. Může být ukončený (0,75), periodický – nějaká skupina číslic se donekonečna opakuje (0,333… zapisujeme 0,(3)) – nebo nekonečný bez opakování (π).

Racionální čísla mají rozvoj ukončený nebo periodický. Iracionální mají rozvoj nekonečný a nikdy se neopakující.

Jaký desetinný rozvoj má 5/11?
Vyděl 5 : 11 = 0,4545… Skupina 45 se pořád opakuje → periodický, 0,(45). Je to tedy racionální číslo (jako každý zlomek).

Prvočísla – stavebnice přirozených čísel

DělitelČíslo, kterým jde jiné číslo vydělit beze zbytku.Dělitelé 12 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 12.
PrvočísloPřirozené číslo větší než 1, které má právě dva dělitele: 1 a samo sebe. Ostatní čísla větší než 1 jsou složená.2, 3, 5, 7, 11, 13 jsou prvočísla. 91 = 7 · 13 je složené, i když tak nevypadá.
D(a, b) a n(a, b)D je největší společný dělitel – největší číslo, které dělí obě. n je nejmenší společný násobek – nejmenší kladné číslo, které je dělitelné oběma.D(12, 18) = 6, n(12, 18) = 36.
Urči D(24, 36).
Dělitelé 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Dělitelé 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Největší společný je 12.
✗π = 22/7 (nebo π = 3,14)
✓π ≈ 22/7 ≈ 3,14 – jen přibližně

π je iracionální, žádný zlomek ani ukončené desetinné číslo ho přesně nevyjádří. 22/7 = 3,142857…, kdežto π = 3,141592…

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Racionální číslo = zlomek, rozvoj ukončený nebo periodický. Iracionální (√2, π) zlomkem zapsat nejde. Prvočíslo má právě dva dělitele.

Co v oboru jde spočítat

O čem to je

V zadání často uvidíš „řeš v ℕ“ nebo „řeš v ℝ“. Výsledek na tom opravdu závisí. Rovnice x + 5 = 3 nemá řešení mezi přirozenými čísly, ale mezi celými ano (x = −2).

Na číselné obory se proto dívej jako na sady nástrojů: v každém větším oboru jde provést víc výpočtů.

Nové pojmy

Číselný oborMnožina čísel, se kterou zrovna pracujeme, i s početními operacemi.ℕ, ℤ, ℚ, ℝ.
UzavřenostOperace v oboru „funguje vždy“, když výsledek z oboru nikdy nevyleze.Součet dvou přirozených čísel je vždy přirozený. Rozdíl ne: 3 − 5 = −2 ∉ ℕ.
OborPříkladyVždy v něm jdeCo už nejde
ℕ přirozená1, 2, 3, …sčítat, násobitodečíst větší od menšího
ℤ celá−2, 0, 5+ odčítatdělit (1 : 2)
ℚ racionální1/2, −0,75+ dělit (ne nulou)odmocnit 2
ℝ reálná√2, π+ odmocnit nezáporné čísloodmocnit záporné číslo

Pozor, ℝ ∖ ℚ znamená „reálná čísla bez racionálních“ – tedy iracionální čísla. Otáčej kartičky a opakuj si přesné definice:

  • ℕ – přirozená: 1, 2, 3, …
  • ℤ – celá: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
  • ℚ – racionální: p/q, kde p je celé a q přirozené
  • ℝ ∖ ℚ – iracionální: nekonečný neperiodický rozvoj (√2, π)
  • ℝ – reálná: všechny body číselné osy

Periodické číslo na zlomek

Periodické čísloDesetinné číslo, kde se skupina číslic (perioda) donekonečna opakuje. Zapisujeme ji do závorky.0,(3) = 0,333…; 0,(18) = 0,181818…
Číslo označ x.
Vynásob x takovou mocninou deseti, aby se perioda posunula o jednu celou délku (perioda 1 číslice → ·10, 2 číslice → ·100).
Odečti původní x – nekonečné ocasy se odečtou.
Vyděl a zkrať zlomek.
Převeď 0,(3) na zlomek.
x = 0,333…; 10x = 3,333…; odečtu: 10x − x = 3, tedy 9x = 3, x = 3/9 = 1/3.
Převeď 0,(18) na zlomek.
Perioda má 2 číslice → ·100. 100x = 18,1818…; 100x − x = 18; 99x = 18; x = 18/99 = 2/11.

Rozklad na prvočísla

PrvočísloPřirozené číslo větší než 1 s právě dvěma děliteli (1 a sebou). Každé jiné číslo větší než 1 jde jednoznačně rozložit na součin prvočísel.24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3
Rozlož obě čísla na prvočísla.
D (největší společný dělitel): vezmi prvočísla, která jsou v obou, s menším exponentem.
n (nejmenší společný násobek): vezmi všechna prvočísla s větším exponentem.
Urči D(24, 36) a n(12, 18).
24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3² → D = 2² · 3 = 12. 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² → n = 2² · 3² = 36.
✗Součet dvou iracionálních čísel je vždy iracionální.
✓Může být i racionální: √2 + (−√2) = 0.

Iracionální čísla nejsou uzavřená na sčítání. Jeden protipříklad stačí k vyvrácení tvrzení „vždy“.

Větší obor = víc operací, které jdou vždy provést. Racionální čísla mají ukončený nebo periodický rozvoj a jdou převést na zlomek. D bere společná prvočísla s menším exponentem, n všechna s větším.
🧠Výroková logika↔️Absolutní hodnota