⚖️ Lineární rovnice a nerovnice

Na vahách

O čem to je

Za 3 stejné sešity a pravítko za 2 Kč jsi zaplatil 14 Kč. Kolik stál sešit? Takovou hádanku přepíšeš jako 3x + 2 = 14 a vyřešíš ji postupem, který funguje vždy.

Rovnice jsou základní nástroj pro výpočet čehokoli neznámého – ceny, rychlosti, času, množství. Bez nich se neobejde fyzika, chemie ani ekonomie.

Nové pojmy

RovniceDva výrazy spojené rovnítkem. Tvrdí, že levá strana se rovná pravé.3x + 2 = 14
NeznámáPísmeno v rovnici, jehož hodnotu hledáme.V 3x + 2 = 14 je neznámá x.
Řešení (kořen)Číslo, které po dosazení za neznámou dá pravdivou rovnost.x = 4: 3 · 4 + 2 = 14 ✓
Lineární rovniceRovnice, kde je neznámá jen v první mocnině – žádné x², žádné x ve jmenovateli.2(x − 1) = x + 4 je lineární, x² = 4 ne.

Rovnice jako váhy

Rovnice jsou váhy v rovnováze. Smíš s nimi dělat cokoli, co udržíš na obou miskách stejně: přidat, ubrat, vynásobit, vydělit (ne nulou). Takovým krokům se říká ekvivalentní úpravy – nemění řešení.

Vyzkoušej: nejdřív z obou misek uber 2, pak obě strany vyděl 3. Co zbude na levé misce?

Řeš 2(x − 1) = x + 4.
Roznásobím: 2x − 2 = x + 4. Od obou stran odečtu x: x − 2 = 4. K oběma přičtu 2: x = 6. Zkouška: 2 · 5 = 10 a 6 + 4 = 10 ✓.

Někdy x úplně zmizí. 0 · x = 5 je nepravda pro každé x → žádné řešení. 2(x + 1) = 2x + 2 vede na 0 = 0, což platí vždy → nekonečně mnoho řešení.

Nerovnice: váhy, které se převažují

NerovniceJako rovnice, ale místo = je <, >, ≤ nebo ≥. Řešením je obvykle celý úsek čísel (interval).3x − 1 < 11 → x < 4

Úpravy jsou stejné jako u rovnic, s jedinou výjimkou. 3 > 1 je pravda. Vynásob obě strany −1: −3 a −1. Teď je −3 menší než −1. Násobení nebo dělení záporným číslem otočí znak.

Řeš −2x > 6.
Dělím −2, proto otočím znak: x < 6 : (−2), tedy x < −3. Kontrola: x = −4 → −2 · (−4) = 8 > 6 ✓.
✗−2x > 6 → x > −3
✓−2x > 6 → x < −3

Při dělení záporným číslem se pořadí čísel na ose obrátí, takže se musí otočit i znak nerovnosti.

Dvě neznámé – soustava

Soustava rovnicNěkolik rovnic, které musí platit zároveň. Na dvě neznámé potřebuješ dvě rovnice.x + y = 10 a x − y = 2
Řeš x + y = 10, x − y = 2.
Sečtu levé strany a pravé strany: (x + y) + (x − y) = 10 + 2, tedy 2x = 12, x = 6. Dosadím: 6 + y = 10, y = 4. (Sčítací metoda.)
S oběma stranami dělej totéž. Výsledek ověř zkouškou. U nerovnic otoč znak, když násobíš nebo dělíš záporným číslem.

Grafem

O čem to je

Mobilní tarif stojí 200 Kč měsíčně plus 2 Kč za minutu. Druhý tarif 300 Kč a 1 Kč za minutu. Od kolika minut je druhý výhodnější? Když oba tarify nakreslíš jako čáry, odpověď uvidíš tam, kde se protnou.

Graf ti ukáže, proč má rovnice jedno, žádné nebo nekonečně mnoho řešení a jak vypadá řešení nerovnice.

Nové pojmy

Rovnice a řešeníRovnice je rovnost s neznámou x. Řešení je číslo, které ji po dosazení splní.2x − 4 = 0 má řešení x = 2.
Souřadnicový systémDvě kolmé číselné osy: vodorovná osa x a svislá osa y. Každý bod má dvě souřadnice [x; y].Bod [2; 0] leží na ose x, dva dílky vpravo od počátku.
Graf y = kx + qVšechny body [x; y], kde y vypočítáš z x podle předpisu. Je to vždy přímka. q je místo, kde přímka protne osu y, k říká, o kolik y vzroste, když se x zvětší o 1.y = 2x − 4 prochází bodem [0; −4] a každý krok doprava stoupá o 2.

Rovnice = kde přímka protne osu x

Rovnice 2x − 4 = 0 se ptá: pro jaké x je y = 2x − 4 rovno nule? Tedy kde přímka protne osu x. Na grafu je to x = 2.

Vyzkoušej: měň q a sleduj, jak se průsečík s osou x posouvá. Pak nastav k = 0 – přímka je vodorovná a osu x buď neprotne vůbec, nebo s ní splyne.

Tak vidíš i zvláštní případy: vodorovná přímka mimo osu (např. 0 · x = 5) → žádné řešení. Přímka ležící na ose (0 = 0) → nekonečně mnoho řešení.

Nerovnice = kde je přímka nad osou

2x − 4 > 0 znamená: kde je přímka nad osou x? Vpravo od 2, tedy x > 2. Pro „< 0“ hledáš část pod osou: x < 2.

✗−2x > 6, vydělím −2 → x > −3
✓x < −3

Přímka y = −2x klesá: velké y má pro malá x. Při dělení záporným číslem se proto znak nerovnosti otáčí.

Soustava = průsečík dvou přímek

Soustava dvou rovnicDvě rovnice se dvěma neznámými, které musí platit zároveň. Každá rovnice je přímka, řešení je jejich společný bod.2x + y = 7 a x − y = 2 se protínají v [3; 1].
Z jedné rovnice vyjádři jednu neznámou (např. x = y + 2).
Dosaď ji do druhé rovnice – zbude jedna neznámá.
Vyřeš ji.
Dopočítej druhou neznámou a udělej zkoušku v obou rovnicích.
Řeš 2x + y = 7, x − y = 2 dosazovací metodou.
Z druhé: x = y + 2. Dosadím: 2(y + 2) + y = 7 → 3y + 4 = 7 → y = 1. Pak x = 3. Zkouška: 6 + 1 = 7 ✓, 3 − 1 = 2 ✓. Řešení [3; 1].

Druhá možnost je sčítací metoda: rovnice sečteš tak, aby jedna neznámá zmizela. (2x + y) + (x − y) = 7 + 2 → 3x = 9 → x = 3. Výsledek je stejný.

Rovnoběžné přímky se neprotnou → soustava nemá řešení. Totožné přímky → nekonečně mnoho řešení.

Tarif A: 200 + 2t, tarif B: 300 + t (t = minuty). Kdy stojí stejně?
200 + 2t = 300 + t → t = 100. Při 100 minutách stojí oba 400 Kč; nad 100 minut je levnější B.
Řešení rovnice = průsečík přímky s osou x. Řešení nerovnice = část, kde je přímka nad/pod osou. Řešení soustavy = průsečík dvou přímek (dosazovací nebo sčítací metoda).
🧮Algebraické výrazy🎯Kvadratické rovnice a nerovnice