🎯 Kvadratické rovnice a nerovnice

Parabolou

O čem to je

Kopneš do míče. Letí nahoru, zpomaluje a padá zpátky – po oblouku. Ten oblouk popisuje rovnice s x². Kdy míč dopadne? Tehdy, když je jeho výška nulová. To je kvadratická rovnice.

Kvadratické rovnice řeší dráhy hozených těles, obsahy ploch (strana na druhou), optimální cenu v ekonomii. Tady je uvidíš jako obrázek.

Nové pojmy

Kvadratická rovniceRovnice, ve které je neznámá ve druhé mocnině (x²) a vyšší mocnina tam není. Obecně ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0.x² − 2x − 3 = 0
KořenČíslo, které rovnici splní. Kvadratická rovnice má 2, 1, nebo žádný reálný kořen.x = 3 je kořen x² − 2x − 3 = 0: 9 − 6 − 3 = 0 ✓
ParabolaGraf výrazu y = ax² + bx + c – oblouk tvaru U. Pro a > 0 je otevřený nahoru (úsměv), pro a < 0 dolů (mračoun).y = x² je parabola s nejnižším bodem v [0; 0].
Osa xVodorovná osa grafu. Na ní je y = 0.

Kořeny = průsečíky s osou x

Rovnice x² − 2x − 3 = 0 se ptá: kde má parabola y = x² − 2x − 3 výšku nula? Tedy kde protne osu x. Na grafu vidíš −1 a 3.

Vyzkoušej: posouvej c nahoru. Parabola stoupá – nejdřív protíná osu dvakrát, pak se jí jen dotkne (1 kořen), nakonec je celá nad osou (žádný kořen).

Jednoduché případy bez vzorce

Řeš x² = 49.
Hledám čísla, která na druhou dají 49. Jsou dvě: 7 a −7, protože i (−7)² = 49.
Řeš x² − 3x = 0.
Vytknu x: x(x − 3) = 0. Součin je nula, jen když je nula některý činitel: x = 0, nebo x − 3 = 0. Kořeny 0 a 3.
✗x² = 49 → x = 7
✓x = 7 nebo x = −7

Záporné číslo na druhou je kladné. Parabola y = x² − 49 protíná osu x dvakrát, souměrně kolem nuly.

A x² + 1 = 0? Parabola y = x² + 1 je celá nad osou (nejníž má výšku 1). Žádný průsečík → žádné reálné řešení.

Nerovnice: nad, nebo pod osou

Kvadratická nerovniceMísto = je <, >, ≤ nebo ≥. Hledáš, kde je parabola pod osou (< 0) nebo nad osou (> 0).x² − 2x − 3 < 0
Řeš x² − 2x − 3 < 0.
Kořeny jsou −1 a 3, parabola je otevřená nahoru. Pod osou je jen mezi kořeny: x ∈ (−1; 3). Krajní body ne, tam je výška přesně 0.
Řeš x² − x − 6 ≥ 0.
Kořeny: (x − 3)(x + 2) = 0 → −2 a 3. Parabola nahoru, nad osou je vně kořenů, kraje patří (≥): x ∈ (−∞; −2⟩ ∪ ⟨3; ∞).
Kořeny kvadratické rovnice = kde parabola protne osu x (2, 1 nebo 0 průsečíků). Nerovnici vyřešíš náčrtem: najdi kořeny a podívej se, kde je parabola nad nebo pod osou.

Vzorcem

O čem to je

Ne každou rovnici s x² rozložíš z hlavy. Rovnice 2x² − 8x + 6 = 0 nebo x² − 5x + 6 = 0 se dají vyřešit univerzálním vzorcem – funguje vždy, stačí dosadit tři čísla.

Navíc se naučíš z jednoho čísla (diskriminantu) poznat, kolik má rovnice řešení, ještě než je spočítáš.

Nové pojmy

Kvadratická rovniceRovnice tvaru ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0. Neznámá x je ve druhé mocnině.x² − 5x + 6 = 0
Koeficienty a, b, cČísla v rovnici: a stojí u x², b u x, c je samotné číslo. Bereme je i se znaménkem.V x² − 5x + 6 = 0 je a = 1, b = −5, c = 6.
Diskriminant DČíslo D = b² − 4ac. Rozhoduje o počtu kořenů.Pro x² − 5x + 6: D = 25 − 24 = 1.
DPočet reálných kořenů
D > 02 různé
D = 01 (dvojnásobný)
D < 00 – ze záporného čísla odmocninu neuděláš

Postup

Převeď rovnici na tvar ax² + bx + c = 0 (vpravo nula).
Vypiš a, b, c i se znaménky.
Spočítej D = b² − 4ac.
Je-li D ≥ 0, dosaď do x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a).
Udělej zkoušku dosazením.
Řeš x² − 5x + 6 = 0.
a = 1, b = −5, c = 6. D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1. x = (5 ± 1)/2 → x₁ = 3, x₂ = 2.
Řeš 2x² − 8x + 6 = 0.
a = 2, b = −8, c = 6. D = 64 − 48 = 16, √D = 4. x = (8 ± 4)/4 → x₁ = 3, x₂ = 1.
✗b = −5, tak −b = −5
✓−b = −(−5) = 5

Do vzorce dosazuješ b i se znaménkem. Minus před záporným číslem dá plus. A pozor: 2a dělí celý čitatel (−b ± √D), ne jen √D.

Vietovy vzorce

Vietovy vzorcePro kořeny x₁, x₂ platí x₁ + x₂ = −b/a a x₁ · x₂ = c/a. Umožní kontrolu nebo uhádnutí kořenů.x² − 7x + 10 = 0: součet 7, součin 10 → kořeny 2 a 5.

Vyzkoušej v grafu: máš y = x² + 4x + 2. Posuň c na 4. Diskriminant bude 16 − 16 = 0 a parabola se osy x jen dotkne v jediném bodě x = −2. Při c = 5 už osu nepotká vůbec.

Pro jaké c má x² + 6x + c = 0 právě jeden kořen?
Jeden kořen ⇔ D = 0. D = 36 − 4c = 0 → c = 9. Pak x² + 6x + 9 = (x + 3)², kořen −3.

Nerovnice

Převeď na tvar ax² + bx + c ? 0.
Najdi kořeny (vzorcem).
Načrtni parabolu: a > 0 nahoru, a < 0 dolů.
Vyber část nad osou (> 0) nebo pod osou (< 0); u ≤, ≥ kořeny patří.
Řeš x² − 4 < 0.
Kořeny ±2, parabola nahoru, pod osou mezi kořeny: x ∈ (−2; 2).
D = b² − 4ac, x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a). D > 0 dva kořeny, D = 0 jeden, D < 0 žádný. Vieta: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
⚖️Lineární rovnice a nerovnice📐Trojúhelníky