📐 Trojúhelníky

Obrázkem

O čem to je

Střecha, most, stojan na kolo, jeřáb – všude uvidíš trojúhelníky. Trojúhelník je totiž tuhý: když ho svaříš ze tří tyčí, nejde zdeformovat. Čtyřúhelník se zkosí.

Kdo umí s trojúhelníky počítat, umí změřit výšku stromu, vzdálenost přes řeku nebo délku žebříku. Tady jsou nejdůležitější pravidla a proč platí.

Nové pojmy

Vrcholy, strany, úhlyTrojúhelník ABC má tři vrcholy (rohy) A, B, C. Strana proti vrcholu A se značí a, proti B je b, proti C je c. Úhly u vrcholů jsou α, β, γ.Strana a spojuje body B a C.

Pravoúhlý trojúhelníkTrojúhelník s jedním pravým úhlem (90°, roh sešitu). Strana naproti pravému úhlu je přepona (nejdelší), dvě strany u pravého úhlu jsou odvěsny.Žebřík opřený o zeď: zeď a zem jsou odvěsny, žebřík přepona.

Rovnoramenný trojúhelníkMá dvě stejně dlouhé strany (ramena). Třetí strana je základna a úhly u ní jsou stejné.

Úhly: vždy 180°

Ustřihni z papíru trojúhelník, utrhni mu všechny tři rohy a přilož je k sobě. Vždy vytvoří rovnou čáru – přímý úhel 180°.

Vyzkoušej si, jak vypadá 50°, 60° a 70°. Když je přiložíš k sobě, 50 + 60 + 70 = 180.

Dva úhly trojúhelníku mají 50° a 60°. Kolik má třetí?

180° − 50° − 60° = 70°.

Délky: trojúhelníková nerovnost

Zkus postavit trojúhelník ze špejlí 3 cm, 4 cm a 8 cm. Kratší dvě se položí na nejdelší a nedosáhnou na sebe. Platí: součet dvou stran musí být větší než třetí.

Pythagorova věta

Nad každou stranu pravoúhlého trojúhelníku postav čtverec. Dva menší čtverce mají dohromady stejný obsah jako ten velký. Hýbej posuvníky a sleduj čísla: a² + b² je vždy c².

c² = a² + b², kde c je přepona. Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku.

Odvěsny měří 6 a 8. Jak dlouhá je přepona?

c² = 36 + 64 = 100, c = 10.

✗Z úseček 3, 4, 8 sestrojím trojúhelník, protože 3 + 4 + 8 je kladné číslo.

✓Nesestrojíš: 3 + 4 = 7 < 8.

Každé dvě strany dohromady musí být delší než třetí – jinak se nepotkají.

Čtyři významné body

Těžnice a těžištěTěžnice je úsečka z vrcholu do středu protější strany. Všechny tři se protnou v těžišti T. Na špičce tužky v těžišti by papírový trojúhelník balancoval. Těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1 – dva díly od vrcholu, jeden od strany.Těžnice 9 cm → od vrcholu k těžišti 6 cm.

Výška a ortocentrumVýška je kolmice (svírá pravý úhel) z vrcholu na protější stranu. Tři výšky (nebo jejich prodloužení) se protnou v ortocentru.

Kružnice opsanáKružnice, která prochází všemi třemi vrcholy. Její střed je průsečík os stran (kolmic vedených středy stran). Je stejně daleko od všech vrcholů.

Kružnice vepsanáKružnice uvnitř, která se dotýká všech tří stran. Její střed je průsečík os úhlů (přímek, které úhly půlí). Je stejně daleko od všech stran.

Obsah trojúhelníku: S = strana · výška k ní / 2 (je to polovina obdélníku). Strana 10 cm a výška 6 cm → S = 30 cm².

Stejné a podobné

Shodné trojúhelníkyDají se na sebe přesně přiložit. Stačí ověřit tři strany (sss), dvě strany a úhel mezi nimi (sus), stranu a dva úhly při ní (usu), nebo dvě strany a úhel proti větší z nich (Ssu).

Podobné trojúhelníkyStejný tvar, jiná velikost – jako fotka a její zvětšenina. Stačí, aby měly stejné úhly. Strany jsou k-krát větší, obsah k²-krát.Zvětšíš-li trojúhelník 2×, obsah vzroste 4×.

V pravoúhlém trojúhelníku rozdělí výška v na přeponu přeponu na úseky cₐ a c_b. Vzniknou dva menší trojúhelníky podobné tomu velkému, a z toho plyne Euklidova věta: v² = cₐ · c_b. Například úseky 4 a 9 → v² = 36, v = 6.

Úhly dají 180°, dvě strany jsou vždy delší než třetí, v pravoúhlém c² = a² + b². Těžiště = průsečík těžnic (2 : 1), střed opsané kružnice = osy stran, vepsané = osy úhlů.

Přehledem vět

O čem to je

Zeměměřič nemůže přejít přes řeku, ale změří úhly a jednu vzdálenost – a zbytek dopočítá. Funguje to díky větám o trojúhelnících: z několika údajů jde určit všechny ostatní.

Tady je přehled vět, které na SŠ budeš používat pořád, a vždy k nim, k čemu se hodí.

Nové pojmy

Trojúhelník ABCTři body, které neleží na jedné přímce, spojené úsečkami. Strany a, b, c leží proti vrcholům A, B, C; úhly značíme α, β, γ.

Shodné trojúhelníkyMají stejný tvar i velikost – dají se na sebe přesně přiložit.

Podobné trojúhelníkyMají stejný tvar, ale mohou mít jinou velikost. Všechny strany jsou zvětšené stejným poměrem podobnosti k.Trojúhelník 3–4–5 a 6–8–10 jsou podobné s k = 2.

Základní věty

Součet úhlů: α + β + γ = 180°.
Trojúhelníková nerovnost: a + b > c (a stejně pro ostatní dvojice).
Rovnoramenný: úhly při základně jsou shodné.
Obsah: S = a · vₐ / 2, kde vₐ je výška na stranu a.

Kdy jsou dva trojúhelníky shodné

Nemusíš porovnávat všech 6 údajů. Stačí 3 správně vybrané (s = strana, u = úhel):

Věta	Co se shoduje
sss	všechny tři strany
sus	dvě strany a úhel mezi nimi
usu	strana a oba úhly při ní
Ssu	dvě strany a úhel proti větší z nich

✗Trojúhelníky se stejnými úhly (uuu) jsou shodné.

✓Jsou jen podobné.

Malý a velký rovnostranný trojúhelník mají oba úhly 60°, ale různou velikost.

U podobnosti s poměrem k jsou strany k-krát větší, ale obsahy k²-krát větší (zvětšuje se do délky i do šířky).

Trojúhelníky jsou podobné s poměrem 2. Menší má obsah 5 cm². Jaký obsah má větší?

Obsahy jsou v poměru k² = 4. 5 · 4 = 20 cm².

Pravoúhlý trojúhelník

Přepona a odvěsnyPřepona c leží proti pravému úhlu, odvěsny a, b ho svírají. Výška v na přeponu ji rozdělí na dva úseky: cₐ (u strany a) a c_b (u strany b).

Pythagorova věta: c² = a² + b².
Euklidova věta o výšce: v² = cₐ · c_b.
Euklidova věta o odvěsně: a² = c · cₐ, b² = c · c_b.

Prověř Pythagorovu větu: nastav odvěsny 6 a 8 a podívej se, jaká vyjde přepona.

Úseky přepony jsou cₐ = 4, c_b = 9. Jak vysoká je výška na přeponu?

v² = 4 · 9 = 36, v = 6.

Významné body

Bod	Průsečík čeho	Vlastnost
těžiště T	těžnic (vrchol → střed protější strany)	dělí těžnici 2 : 1 od vrcholu
ortocentrum	výšek (kolmice z vrcholu na stranu)	—
střed kružnice opsané	os stran (kolmice středem strany)	stejně daleko od vrcholů
střed kružnice vepsané	os úhlů (půlí úhel)	stejně daleko od stran

Těžnice měří 9 cm. Jak daleko je těžiště od vrcholu?

Těžnici rozdělím na 3 díly po 3 cm. Od vrcholu jsou 2 díly: 6 cm.

Úhly 180°, a + b > c. Shodnost: sss, sus, usu, Ssu; stejné úhly dají jen podobnost (obsahy v poměru k²). Pravoúhlý: c² = a² + b², v² = cₐ · c_b.

🎯Kvadratické rovnice a nerovnice⭕Kružnice a mnohoúhelníky