⭕ Kružnice a mnohoúhelníky

Obrázkem

O čem to je

Kolo, hodiny, pizza, kruhový objezd. A kolem nás i spousta mnohoúhelníků: dlaždice, včelí plástev ze šestiúhelníků, značka STOP je osmiúhelník.

Ukážeme si, co všechno o kružnici platí „zadarmo“ – třeba že v ní vždy najdeš pravý úhel – a jak spočítat úhly v libovolném mnohoúhelníku.

Nové pojmy

Kružnice a kruhKružnice je čára: všechny body stejně daleko od středu S. Ta vzdálenost je poloměr r. Kruh je kružnice i s vnitřkem.Obruč je kružnice, placka je kruh.
PrůměrÚsečka přes střed, která spojuje dva body kružnice. Je dlouhá 2r.
ObloukKus kružnice mezi dvěma jejími body.
Středový a obvodový úhelOba „koukají“ na stejný oblouk. Středový má vrchol ve středu kružnice, obvodový má vrchol kdekoli na kružnici (mimo ten oblouk).

Pravý úhel nad průměrem

Nakresli kružnici a průměr AB. Vyber libovolný další bod C na kružnici a spoj ho s A a B. Úhel u C bude vždy 90° – ať vybereš C kdekoli. To je Thaletova věta.

Tak vypadá pravý úhel, který při každém pokusu dostaneš. Posuň posuvník pryč a zpátky na 90°.

Proč? Průměr je vlastně „středový úhel“ 180° (přímá čára). A obvodový úhel je vždy polovina středového nad stejným obloukem: 180° : 2 = 90°.

Středový úhel je 80°. Jak velký je obvodový úhel nad stejným obloukem?
Polovina: 80° : 2 = 40°. Všechny obvodové úhly nad tím obloukem mají 40°.
TečnaPřímka, která se kružnice dotýká v jediném bodě. V bodě dotyku je vždy kolmá na poloměr.Kolo stojí na silnici: silnice je tečna, paprsek kola ve svislé poloze je na ni kolmý.

Úhly v mnohoúhelníku

Mnohoúhelník (n-úhelník)Uzavřený obrazec z n rovných stran. Je pravidelný, když má všechny strany i úhly stejné.Čtverec je pravidelný 4úhelník.

Z jednoho vrcholu nakresli úhlopříčky (spojnice nesousedních vrcholů). Šestiúhelník se rozpadne na 4 trojúhelníky, n-úhelník na n − 2. Každý trojúhelník má 180°, takže součet úhlů je (n − 2) · 180°.

Jaký je vnitřní úhel pravidelného osmiúhelníku?
Součet: (8 − 2) · 180° = 1080°. Úhlů je 8 stejných: 1080° : 8 = 135°.
✗Obvodový úhel je dvakrát větší než středový.
✓Obvodový je polovina středového.

Vrchol na kružnici je dál od oblouku než střed, a proto oblouk „vidí“ pod menším úhlem.

Obsah kruhu S = πr² a obvod o = 2πr, kde π ≈ 3,14. Kruh s r = 5 má obsah 25π. Oblouk se středovým úhlem 60° je 60/360 = 1/6 obvodu.

Úhlopříček má šestiúhelník 9: z každého ze 6 vrcholů vedou 3 (ne k sobě a ne ke dvěma sousedům), to je 18, ale každou jsme počítali z obou konců → 18 : 2 = 9. Obsah lichoběžníku je průměr obou základen krát výška: (a + c) · v / 2; kosočtverce polovina součinu úhlopříček.

Obvodový úhel = polovina středového; nad průměrem je pravý (Thalet). Tečna ⟂ poloměr. Součet úhlů n-úhelníku je (n − 2) · 180°.

Vzorci

O čem to je

Kolik plotu potřebuješ na kruhový záhon? Kolik dlažby na lichoběžníkovou terasu? Jak dlouhá je kolejnice v oblouku? Na to stačí sada vzorců – musíš ale vědět, co v nich která písmena znamenají.

Vzorce si tady nejdřív vysvětlíme, pak je použijeme na příkladech.

Nové pojmy

Poloměr r a πPoloměr je vzdálenost středu kružnice od jejího okraje. π (pí) ≈ 3,14 je poměr obvodu kružnice a jejího průměru – stejný pro každou kružnici.
Středový úhel αÚhel s vrcholem ve středu kružnice. Vymezuje oblouk (kus kružnice) a výseč (kus kruhu, „dílek pizzy“).
ÚhlopříčkaÚsečka spojující dva vrcholy mnohoúhelníku, které nejsou sousední.Čtverec má 2 úhlopříčky.
VýškaKolmá vzdálenost dvou rovnoběžných stran (nebo vrcholu od strany).

Vzorce

Než otočíš kartičku, zkus si vzorec vybavit.

  • Obvod kruhu – o = 2πr
  • Obsah kruhu – S = πr²
  • Délka oblouku (α°) – l = 2πr · α/360°
  • Součet úhlů n-úhelníku – (n − 2) · 180°
  • Počet úhlopříček – n(n − 3)/2
  • Lichoběžník – S = (a + c) · v / 2
  • Kosočtverec – S = u₁ · u₂ / 2

Proč n(n − 3)/2? Z každého z n vrcholů vede úhlopříčka ke všem kromě sebe a dvou sousedů, tedy n − 3. Každou úhlopříčku jsme ale počítali dvakrát (z obou konců), proto dělíme 2.

Kružnice r = 6, oblouk se středovým úhlem 60°. Jak je dlouhý?
60° je 60/360 = 1/6 celé kružnice. Celý obvod 2π · 6 = 12π. Oblouk: 12π : 6 = 2π.
Šestiúhelník: kolik má úhlopříček a jaký součet vnitřních úhlů?
Úhlopříčky: 6 · 3 / 2 = 9. Úhly: (6 − 2) · 180° = 720°.
Kosočtverec má úhlopříčky 6 cm a 8 cm. Obsah?
6 · 8 / 2 = 24 cm². (Kosočtverec je polovina obdélníku 6 × 8 opsaného kolem něj.)

Věty o kružnici

  • Obvodový úhel (vrchol na kružnici) je polovina středového nad stejným obloukem.
  • Thaletova věta: úhel nad průměrem s vrcholem na kružnici je pravý (90°).
  • Tečna (přímka s jediným společným bodem) je kolmá na poloměr v bodě dotyku.
  • Každému trojúhelníku jde opsat kružnici (procházející všemi vrcholy).
✗S = 2πr
✓S = πr², obvod o = 2πr

Obsah se měří v cm², proto v něm musí být r² (délka krát délka). Obvod je délka – r je tam jen jednou.

Kruh: o = 2πr, S = πr², oblouk = obvod · α/360°. n-úhelník: úhly (n − 2) · 180°, úhlopříčky n(n − 3)/2. Obvodový úhel = středový : 2.
📐Trojúhelníky