🌍 Gravitační pole

Měsíc a jablko

O čem to je

Jablko spadne ze stromu na zem. Měsíc nespadne – obíhá Zemi už miliardy let. Isaac Newton si položil otázku: není to vlastně stejný jev? Odpověď zní ano, a z ní vyrostla celá kosmonautika.

Díky tomu umíme vypustit družice pro GPS a počasí, poslat sondu k Marsu a spočítat, jak dlouho trvá rok na Jupiteru.

Nové pojmy

Gravitace (gravitační síla)Přitažlivá síla mezi každými dvěma tělesy, která mají hmotnost. Je tím větší, čím jsou tělesa hmotnější a čím jsou blíž u sebe.Země přitahuje tebe a ty přitahuješ Zemi. Mezi dvěma lidmi je síla nepatrná, u planet obrovská.
Gravitační poleProstor kolem tělesa, ve kterém na jiná tělesa působí jeho gravitace.Gravitační pole Země sahá i k Měsíci.
DružiceTěleso, které obíhá kolem planety. Přirozená je Měsíc, umělé vypouštějí lidé.Mezinárodní vesmírná stanice ISS obíhá asi 400 km nad Zemí.

Proč Měsíc nespadne

Představ si dělo na vysoké hoře. Vystřelíš kouli vodorovně – dopadne kousek dál. Silněji – dopadne dál. Při určité rychlosti koule padá stejně rychle, jako se pod ní zakřivuje povrch Země. Nikdy nedopadne – obíhá.

Měsíc i družice pořád padají k Zemi, ale letí bokem tak rychle, že ji neustále míjejí.

Kosmické rychlosti1. kosmická (7,9 km/s): rychlost na kruhové dráze těsně u povrchu Země. 2. kosmická (11,2 km/s): úniková – těleso od Země odletí navždy. 3. kosmická (16,7 km/s): opustí i Sluneční soustavu.

Porovnej sloupce. 7,9 km/s je asi 28 000 km/h – z Prahy do Brna za necelou půlminutu.

Čím dál, tím slaběji

Gravitační síla slábne se druhou mocninou vzdálenosti. Dvakrát dál = 2² = 4× slabší. Třikrát dál = 9× slabší. Je to jako světlo baterky – rozprostře se na čím dál větší plochu.

Jak se změní gravitační síla mezi dvěma tělesy, když vzdálenost zdvojnásobíme?
Síla závisí na 1/r². Dvojnásobná vzdálenost → 2² = 4 → síla se zmenší 4×.
Jak se změní síla, když hmotnost jednoho tělesa zdvojnásobíme?
Síla je přímo úměrná hmotnosti → zvětší se 2×.
✗Astronauti na ISS se vznášejí, protože tam už gravitace nepůsobí.
✓Gravitace tam působí skoro stejně silně jako na zemi (asi 90 %). Astronauti jsou v beztíži, protože spolu se stanicí neustále padají kolem Země.

Když padáš spolu s místností, nic tě netlačí do podlahy – stejně jako v padajícím výtahu. To je beztíže, ne chybějící gravitace.

Geostacionární družiceDružice nad rovníkem, která oběhne Zemi přesně za jeden den (asi 24 h). Z povrchu se zdá, že stojí na místě.Družice pro satelitní televizi – parabola na střeše míří stále stejným směrem.

Jak obíhají planety

Keplerovy zákonyTři pravidla pro pohyb planet: 1. obíhají po elipsách (ováloch), Slunce je v jednom ohnisku; 2. blízko Slunce (v přísluní) letí rychleji než daleko (v odsluní); 3. čím dál od Slunce, tím déle trvá oběh: T² = a³ (T v letech, a = průměrná vzdálenost v astronomických jednotkách, 1 au ≈ 150 milionů km).Planeta ve vzdálenosti 4 au: T² = 64, T = 8 let.
Intenzita gravitačního poleJak silně pole táhne každý kilogram: síla děleno hmotnost, jednotka N/kg. U povrchu Země asi 9,8 N/kg.
Gravitace přitahuje všechna tělesa s hmotností a slábne s druhou mocninou vzdálenosti. Družice obíhá, protože padá a zároveň letí bokem – u Země rychlostí 7,9 km/s.

Zákony

O čem to je

Astronomové po staletí zapisovali, kde jsou na obloze planety. Johannes Kepler z těch čísel kolem roku 1600 vyčetl tři pravidla. Isaac Newton pak ukázal, že všechna plynou z jediného zákona gravitace.

Podle těchto zákonů dnes NASA i ESA plánují dráhy sond a družic.

Nové pojmy

Gravitační síla F_gPřitažlivá síla mezi dvěma tělesy s hmotností. Jednotka newton (N).
Gravitační konstanta κ (kappa)Číslo, které je pro celý vesmír stejné: κ = 6,67 · 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Je nepatrné, proto gravitaci mezi běžnými věcmi necítíme.
Intenzita gravitačního pole KGravitační síla na každý 1 kg tělesa: K = F_g / m. Jednotka N/kg. U povrchu Země asi 9,8 N/kg.Těleso 5 kg u povrchu Země: F = 5 · 9,8 = 49 N.
Elipsa a ohniskoElipsa je „protáhlá kružnice“, ovál. Má dva význačné body uvnitř – ohniska. Kružnice je elipsa, jejíž ohniska splynula ve středu.
Velká poloosa aPolovina nejdelšího průměru elipsy – „průměrná vzdálenost“ planety od Slunce.
Astronomická jednotka (au)Střední vzdálenost Země od Slunce, asi 150 milionů km.Mars má velkou poloosu asi 1,5 au.

Newtonův gravitační zákon

F_g = κ · m₁ · m₂ / r². Síla roste s hmotnostmi obou těles a klesá s druhou mocninou vzdálenosti r jejich středů.

Graf ukazuje, kolik zbude ze síly, když vzdálenost zvětšuješ. Všimni si, jak rychle síla klesá.

Tři Keplerovy zákony

1. Planety obíhají po elipsách, Slunce je v jednom ohnisku.
2. Spojnice planeta–Slunce (průvodič) opíše za stejný čas stejnou plochu. Proto planeta blízko Slunce (v přísluní) letí rychleji než daleko (v odsluní).
3. Druhá mocnina doby oběhu je úměrná třetí mocnině velké poloosy. Měříme-li T v letech a a v au, platí T² = a³.
Planeta má velkou poloosu 4 au. Jak dlouho obíhá kolem Slunce?
T² = a³ = 4³ = 64. T = √64 = 8 let.
Jak se změní gravitační síla, když se vzdálenost ztrojnásobí?
Síla závisí na 1/r²: 3² = 9. Síla se zmenší 9×.
✗Dvojnásobná vzdálenost = poloviční gravitační síla.
✓Dvojnásobná vzdálenost = čtvrtinová síla.

Ve vzorci je r², ne r. Vzdálenost se umocní: 2² = 4.

Kosmické rychlosti u Země: 1. (kruhová u povrchu) 7,9 km/s, 2. (úniková) 11,2 km/s, 3. (opuštění Sluneční soustavy) 16,7 km/s.

F_g = κ·m₁·m₂/r². Keplerovy zákony: elipsy se Sluncem v ohnisku, v přísluní rychleji, T² ~ a³. Intenzita pole K = F/m v N/kg.
⚡Práce, energie a výkon🔧Mechanika tuhého tělesa