🏋️ Pružnost a pevnost: tah a tlak

Lano jeřábu

O čem to je

Ocelové lano jeřábu nese tunu. Vydrží? A o kolik se natáhne? Na to odpovídá pružnost a pevnost. Inženýr díky ní navrhne lano, šroub nebo sloup tak, aby nepraskly a zbytečně neplýtvaly materiálem.

Nové pojmy

Tah a tlakTah součást natahuje (lano, šroub), tlak ji stlačuje (sloup, píst). Síla působí v ose součásti.Řetěz s břemenem je v tahu, noha stolu v tlaku.
Průřez SPlocha řezu kolmo k ose součásti, v mm².Kulatina d = 20 mm: S = π · 20² / 4 = 314 mm².
Normálové napětí σSíla rozpočítaná na každý mm² průřezu: σ = F / S. Jednotka MPa = N/mm².10 000 N na 100 mm² = 100 MPa.
Poměrné prodloužení εO kolik se součást prodloužila v poměru k původní délce: ε = Δl / l. Bez jednotky.Tyč 1 000 mm se prodlouží o 1 mm: ε = 0,001.

Tahová zkouška

Ve zkušebně se tyčinka natahuje, dokud nepraskne, a kreslí se graf napětí podle prodloužení. Z grafu se čtou důležité meze.

  • mez úměrnosti – do ní platí přímá úměrnost napětí a prodloužení
  • mez kluzu Re – materiál se začne trvale deformovat
  • mez pevnosti Rm – nejvyšší napětí, pak tyčinka praskne
Hookův zákonDo meze úměrnosti platí σ = E · ε. E je modul pružnosti – jak je materiál tuhý. Pro ocel E ≈ 210 000 MPa.Ocel je asi 3× tužší než hliník (E ≈ 70 000 MPa).

Graf Hookova zákona je přímka z počátku. Nastav q = 0 a měň sklon k: větší sklon je jako tužší materiál (větší E) – stejné prodloužení vyvolá větší napětí.

Bezpečně navrhnout

Dovolené napětí σ_DNapětí, které se v součásti smí objevit: mez kluzu dělená bezpečností k (např. 1,5 až 3). σ_D = Re / k.Ocel S235: Re = 235 MPa, k = 2 → σ_D ≈ 117 MPa.
Ocelová tyč d = 20 mm je natahována silou 30 kN. Jaké je v ní napětí?
S = π · 20² / 4 = 314,2 mm². σ = 30 000 / 314,2 ≈ 95,5 MPa.
O kolik se ta tyč prodlouží, je-li dlouhá 2 m (E = 210 000 MPa)?
Δl = F · l / (E · S) = 30 000 · 2 000 / (210 000 · 314,2) ≈ 0,91 mm.
✗1 MPa = 1 N/m².
✓1 MPa = 1 N/mm² = 1 000 000 N/m².

Proto se síly v N dělí plochou v mm² a napětí vychází rovnou v MPa.

Napětí σ = F / S v MPa (N/mm²). Do meze úměrnosti platí Hookův zákon σ = E · ε. Součást vyhovuje, když σ ≤ σ_D = Re / k.

Návrh průřezu

O čem to je

Máš navrhnout táhlo, které unese 50 kN. Jaký průměr? Postup je pořád stejný: pevnostní podmínka, z ní plocha, z plochy průměr.

Nové pojmy

Tah a tlakNamáhání silou v ose součásti: tah natahuje, tlak stlačuje.Táhlo, šroub (tah); sloup, píst (tlak).
Napětí σσ = F / S, MPa = N/mm². Kladné v tahu, záporné v tlaku.50 000 N / 500 mm² = 100 MPa.
Mez kluzu Re a mez pevnosti RmRe: napětí, kdy se materiál začne trvale deformovat. Rm: největší napětí před přetržením.Ocel S235: Re nejméně 235 MPa.
Bezpečnost kKolikrát je mez materiálu větší než skutečné napětí. Kryje nepřesnosti zatížení, materiálu i výroby.k = 2: součást by vydržela dvojnásobek.
Pevnostní podmínkaσ = F / S ≤ σ_D. Z ní při návrhu: S ≥ F / σ_D.F = 50 kN, σ_D = 120 MPa: S ≥ 417 mm².

Tři typy úloh

ÚlohaZnámePočítáme
kontrolaF, S, σ_Dσ = F / S a srovnáme s σ_D
návrh (dimenzování)F, σ_DS = F / σ_D, pak rozměr
únosnostS, σ_DF = S · σ_D
Urči dovolené napětí σ_D = Re / k.
Spočítej potřebnou plochu S = F / σ_D.
Pro kruh: d = √(4 · S / π).
Zaokrouhli nahoru na vyráběný rozměr.
Případně spočítej prodloužení Δl = F · l / (E · S).
Táhlo nese 50 kN, σ_D = 120 MPa. Jaký průměr?
S = 50 000 / 120 = 416,7 mm². d = √(4 · 416,7 / π) ≈ 23,0 mm. Zvolíme d = 24 mm (nebo 25 mm).
Ocelový sloupek 40 × 40 mm, σ_D = 100 MPa. Jakou největší tlakovou sílu unese (bez vzpěru)?
S = 40 · 40 = 1 600 mm². F = S · σ_D = 1 600 · 100 = 160 000 N = 160 kN.
VzpěrDlouhé štíhlé pruty v tlaku se nezničí rozdrcením, ale vybočí do strany. Počítají se zvlášť a dovolená síla je menší.Zmáčkni dlouhé pravítko z konců – ohne se do oblouku.
  • napětí – σ = F / S
  • Hookův zákon – σ = E · ε
  • prodloužení – Δl = F · l / (E · S)
  • dovolené napětí – σ_D = Re / k
  • E oceli – asi 210 000 MPa
✗Vyšlo d = 23,0 mm, zvolím 22 mm – je to blízko.
✓Při návrhu se rozměr zaokrouhluje vždy nahoru.

Menší průměr = menší plocha = napětí nad dovolenou hodnotou.

Pevnostní podmínka σ = F / S ≤ σ_D, kde σ_D = Re / k. Při návrhu S = F / σ_D a rozměr zaokrouhli nahoru. Štíhlé pruty v tlaku kontroluj i na vzpěr.
🧱Tření✂️Smyk a střih