⚖️ Rovnováha tělesa a reakce v podporách

Most na dvou pilířích

O čem to je

Lávka přes potok leží na dvou podpěrách. Když po ní jde člověk, podpěry ho „drží“ – tlačí lávku nahoru. Jak velkou silou? To musí vědět každý, kdo navrhuje podpěry, šrouby nebo ložiska.

Nové pojmy

Síla a momentSíla (N) těleso posouvá, moment síly M = F · r (N·m) ho otáčí. Rameno r je kolmá vzdálenost od bodu k přímce síly.Síla 100 N na rameni 2 m: 200 N·m.

RovnováhaTěleso je v klidu: neposouvá se ani neotáčí. Všechny síly i momenty se navzájem vyruší.Lávka v klidu s člověkem uprostřed.

Podpora (vazba)Místo, kde je těleso opřené nebo upevněné. Brání mu v pohybu.Pilíř mostu, kloub, zabetonovaný konec.

ReakceSíla, kterou podpora působí zpět na těleso. Proti zatížení „tlačí“ podpora.Pilíř tlačí na most nahoru.

NosníkDlouhé těleso (tyč, trám, profil) uložené na podporách a zatížené napříč.Ocelový I-profil stropu, lávka.

Druhy podpor

Podpora	Brání	Neznámé reakce
posuvná (válečková)	pohybu kolmo k podložce	1 – kolmo k podložce
pevná kloubová	posunutí všemi směry, otáčet se smí	2 – vodorovná a svislá
vetknutí	posunutí i otáčení	3 – vodorovná, svislá a moment

Most má na jednom konci pevnou a na druhém posuvnou podporu. Při ohřátí se prodlouží a posuvná podpora ho nechá roztáhnout.

Jak spočítat reakce

Nosník se nesmí otočit kolem žádného bodu. Zvolíš si bod v jedné podpoře – její reakce tam má nulový moment. Zbude jen jedna neznámá.

Lávka 6 m na podporách A (vlevo) a B (vpravo). Ve vzdálenosti 2 m od A stojí břemeno 12 kN. Jaké jsou reakce?

Momenty k A: R_B · 6 = 12 · 2 → R_B = 4 kN. Svisle: R_A + R_B = 12 → R_A = 8 kN. Bližší podpora nese víc.

Konzola (vetknutý nosník) délky 2 m nese na volném konci 5 kN. Jaké reakce působí ve vetknutí?

Svislá reakce: 5 kN nahoru. Moment ve vetknutí: 5 · 2 = 10 kN·m. Vodorovná reakce je 0, protože žádná vodorovná síla nepůsobí.

Roztřiď podpory podle počtu neznámých reakcí.

✗Břemeno je blíž k A, takže víc nese B, protože je dál a má větší rameno.

✓Bližší podpora nese víc.

Představ si břemeno přímo nad A: celé ho nese A, na B nic.

Těleso je v rovnováze, když se síly i momenty vyruší. Posuvná podpora má 1 reakci, kloubová 2, vetknutí 3. Reakce nosníku spočítáš z momentové rovnice k jedné podpoře a ze součtu svislých sil.

Tři rovnice

O čem to je

Každý výpočet nosníku, rámu nebo jeřábu začíná stejně: uvolníš těleso a napíšeš tři podmínky rovnováhy. Z nich spočítáš neznámé reakce.

Nové pojmy

Rovnováha v roviněTěleso se nepohybuje, když platí tři podmínky: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0.Nosník na dvou podporách.

Moment síly MM = F · r (N·m), r = kolmá vzdálenost od bodu k přímce síly. Proti směru hodinových ručiček +.Síla 10 kN na rameni 3 m: 30 kN·m.

Uvolnění tělesaPodpory (vazby) v myšlenkách odstraníš a nahradíš je reakcemi – silami, kterými podpory na těleso působí.Nakreslíš nosník bez pilířů, jen se šipkami R_A a R_B.

Staticky určité tělesoTěleso, u kterého je neznámých reakcí právě tolik, kolik je podmínek rovnováhy (v rovině 3).Nosník: kloubová podpora (2) + posuvná (1) = 3.

Postup

Nakresli těleso, všechny zatěžující síly a vzdálenosti.

Uvolni ho: podpory nahraď reakcemi (posuvná 1, kloubová 2, vetknutí 3).

Napiš momentovou podmínku k bodu, kde je nejvíc neznámých (obvykle podpora A).

Napiš podmínky ΣFy = 0 a ΣFx = 0.

Vyřeš a zkontroluj momentovou podmínkou k jinému bodu.

Nosník 5 m, podpora A vlevo (kloubová), B vpravo (posuvná). Síly dolů: F₁ = 10 kN v 1 m a F₂ = 20 kN ve 4 m od A. Spočítej reakce.

ΣM_A = 0: R_B · 5 − 10 · 1 − 20 · 4 = 0 → R_B = 90 / 5 = 18 kN. ΣFy = 0: R_A + 18 − 30 = 0 → R_A = 12 kN. Kontrola k B: R_A · 5 = 10 · 4 + 20 · 1 → 60 = 60 ✓.

Šikmá síla 10 kN pod úhlem 30° k vodorovné působí uprostřed nosníku 4 m. Jaká je vodorovná reakce kloubové podpory A?

Vodorovná složka síly: 10 · cos 30° ≈ 8,66 kN. Posuvná podpora vodorovně nedrží, takže ΣFx = 0 dává R_Ax ≈ 8,66 kN opačným směrem.

Podmínka	Co znamená
ΣFx = 0	těleso se neposune vodorovně
ΣFy = 0	těleso se neposune svisle
ΣM = 0	těleso se neotočí

✗Reakce R_A a R_B se rovnají vždy polovině zatížení.

✓Polovina vyjde jen při souměrném zatížení (síla uprostřed).

Reakce závisí na vzdálenostech sil od podpor – spočítej je z momentové rovnice.

Uvolni těleso, podpory nahraď reakcemi a napiš ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0. Momentovou rovnici piš k podpoře, výsledek ověř k druhé.

🔧Moment síly a dvojice sil🧱Tření