🌉 Ohyb

Prkno přes potok

O čem to je

Polož prkno přes potok a stoupni si doprostřed. Prohne se. Když ho otočíš na výšku, skoro se neprohne. Proč? To vysvětluje ohyb – nejčastější namáhání nosníků, hřídelů, os, stropů i ramen jeřábů.

Nové pojmy

NosníkDlouhé těleso uložené na podporách a zatížené napříč (kolmo k jeho ose).Trám, ocelový I-profil, lávka.
Moment sílyOtáčivý účinek: M = F · r (N·m), r je kolmá vzdálenost.Síla 1 kN na rameni 2 m = 2 kN·m.
Ohybový moment MoMoment, který nosník v určitém místě ohýbá. V řezu je to součet momentů všech sil na jedné straně řezu.Konzola 1 m se silou 2 kN na konci: u zdi Mo = 2 kN·m.
Neutrální osaVrstva uprostřed výšky nosníku, která se při ohybu neprodlouží ani nezkrátí. Nad ní je materiál stlačený, pod ní natažený (nebo naopak).Prohnuté pravítko: horní strana se zkrátí, dolní prodlouží.
Ohybové napětí σoNapětí v krajních vláknech nosníku: σo = Mo / Wo. Největší je na povrchu, nulové v neutrální ose.Mo = 2 · 10⁶ N·mm, Wo = 24 000 mm³: σo ≈ 83 MPa.
Průřezový modul v ohybu WoČíslo (mm³), které říká, jak dobře tvar průřezu odolává ohybu. Obdélník: Wo = b · h² / 6 (h = výška ve směru zatížení).Prkno 100 × 20 mm na výšku má 5× větší Wo než naplocho.

Na výšku, nebo naplocho?

Výška h je ve vzorci na druhou. Proto prkno na výšku nese mnohem víc. Porovnej Wo prkna 20 × 100 mm:

Ze stejného důvodu mají ocelové nosníky tvar I: většina materiálu je nahoře a dole, daleko od neutrální osy, kde je napětí největší.

KonzolaNosník, který je jedním koncem pevně zazděný nebo přivařený (vetknutý) a druhý konec má volný.Balkon, rameno sloupového jeřábu.
Konzola (vetknutý trám) délky 1 m nese na konci 2 kN. Průřez je obdélník b = 40 mm, h = 60 mm. Jaké je největší ohybové napětí?
Mo = F · l = 2 000 · 1 000 = 2 · 10⁶ N·mm (u vetknutí). Wo = 40 · 60² / 6 = 24 000 mm³. σo = 2 · 10⁶ / 24 000 ≈ 83 MPa.
Kolikrát víc unese prkno 20 × 100 mm položené na výšku než naplocho?
Wo naplocho = 100 · 20² / 6 ≈ 6 667 mm³. Na výšku = 20 · 100² / 6 ≈ 33 333 mm³. Poměr = 5× (= 100 / 20).
✗Největší ohybové napětí je uprostřed výšky nosníku.
✓Uprostřed (v neutrální ose) je napětí nulové. Největší je na horním a dolním povrchu.

Nejvíc se prodlužují a zkracují vlákna nejdál od neutrální osy.

Ohyb natahuje jednu stranu nosníku a stlačuje druhou; neutrální osa zůstává beze změny. σo = Mo / Wo. Obdélník má Wo = bh²/6, proto nosník na výšku nese víc.

Výpočet nosníku

O čem to je

Každý nosník se kontroluje stejným postupem: spočítáš reakce, najdeš místo největšího ohybového momentu a ověříš napětí. Pro nejčastější případy jsou hotové vzorce.

Nové pojmy

Nosník a reakceNosník je těleso na podporách zatížené napříč. Reakce jsou síly, kterými podpory nosník drží.Prostý nosník na dvou podporách.
Ohybový moment MoSoučet momentů sil na jedné straně řezu. Jednotka N·mm nebo kN·m.Mo = 10 kN·m = 10 · 10⁶ N·mm.
Konzola a prostý nosníkKonzola je nosník jedním koncem pevně vetknutý (zazděný), druhý konec je volný. Prostý nosník leží na dvou podporách, z nichž jedna je posuvná.Balkon je konzola, lávka přes potok prostý nosník.
Nebezpečný průřezMísto, kde je ohybový moment největší. Tam se nosník kontroluje.U konzoly vetknutí, u prostého nosníku se silou uprostřed střed.
WoPrůřezový modul v ohybu (mm³). Obdélník b · h² / 6, kruh π · d³ / 32 (asi 0,1 · d³).Kruh d = 50 mm: Wo ≈ 12 272 mm³.

Hotové vzorce

PřípadNejvětší MoKde
konzola, síla F na konciF · lve vetknutí
prostý nosník, síla F uprostředF · l / 4uprostřed
prostý nosník, rovnoměrné zatížení q (N/m)q · l² / 8uprostřed
Urči případ uložení a zatížení (nebo spočítej reakce).
Najdi největší ohybový moment Mo,max.
Spočítej Wo průřezu.
Napětí σo = Mo / Wo porovnej s dovoleným σ_D.
Při návrhu: Wo ≥ Mo / σ_D a z tabulek vyber profil.
Prostý nosník l = 2 m, uprostřed F = 6 kN. Průřez 50 × 100 mm (h = 100 mm). Jaké je σo?
Mo = F · l / 4 = 6 000 · 2 000 / 4 = 3 · 10⁶ N·mm. Wo = 50 · 100² / 6 ≈ 83 333 mm³. σo = 3 · 10⁶ / 83 333 = 36 MPa.
Hřídel d = 40 mm je namáhán momentem Mo = 640 N·m. Jaké je σo?
Wo = π · 40³ / 32 ≈ 6 283 mm³. σo = 640 000 / 6 283 ≈ 102 MPa.
  • konzola Mo,max – F · l
  • prostý nosník, F uprostřed – F · l / 4
  • rovnoměrné zatížení – q · l² / 8
  • Wo obdélníku – b · h² / 6
  • Wo kruhu – π · d³ / 32
✗Ve vzorci Wo = b · h² / 6 je h vždy ten delší rozměr.
✓h je rozměr ve směru zatížení (výška, jak nosník leží).

Prkno naplocho má h = tloušťka – proto se tolik prohne.

Najdi nebezpečný průřez a Mo,max (konzola F·l, prostý nosník F·l/4 nebo q·l²/8). Pak σo = Mo / Wo ≤ σ_D. Wo obdélníku bh²/6, kruhu πd³/32.
✂️Smyk a střih🔁Krut