🔁 Krut

Hřídel a šroubovák

O čem to je

Když utahuješ šroub šroubovákem, ruka otáčí rukojetí a hrot drží v šroubu. Dřík šroubováku se uprostřed zkrucuje. Stejně se zkrucuje hřídel motoru, kloubový hřídel auta nebo drát pružiny. Tomu namáhání se říká krut.

Nové pojmy

HřídelOtáčející se tyč, která přenáší otáčení a krouticí moment.Hřídel elektromotoru.
Krouticí moment MkMoment, který součást zkrucuje kolem její osy. Jednotka N·m.Motor předává na hřídel Mk = 70 N·m.
NapětíSíla rozpočítaná na plochu, v MPa = N/mm².100 N na 1 mm² = 100 MPa.
KrutNamáhání, kdy dvojice momentů na koncích tyče otáčí každým koncem jinam a tyč se zkroutí. V materiálu vzniká smykové napětí τk.Žmýkání ručníku.
Napětí v krutu τkτk = Mk / Wk. Největší je na povrchu hřídele, ve středu nulové.Mk = 72 400 N·mm, Wk = 3 068 mm³: τk ≈ 23,6 MPa.
Průřezový modul v krutu WkPro plný kruh Wk = π · d³ / 16. Roste s průměrem na třetí.d = 25 mm: Wk ≈ 3 068 mm³.

Odkud se moment vezme

Motor má na štítku výkon P (W) a otáčky n (min⁻¹). Krouticí moment z nich spočítáš: Mk = P / ω, kde úhlová rychlost ω = 2 · π · n (n v otáčkách za sekundu).

Motor 11 kW, 1 450 min⁻¹. Jaký krouticí moment dává?
n = 1 450 / 60 = 24,17 s⁻¹. ω = 2π · 24,17 ≈ 151,8 rad/s. Mk = 11 000 / 151,8 ≈ 72,4 N·m.
Hřídel toho motoru má d = 25 mm. Jaké je v něm napětí v krutu?
Wk = π · 25³ / 16 ≈ 3 068 mm³. τk = 72 400 / 3 068 ≈ 23,6 MPa.

Proč jsou hřídele někdy duté

Uprostřed hřídele je napětí skoro nulové – materiál tam téměř nepracuje. Dutý hřídel ušetří hodně hmotnosti a pevnost klesne málo.

Porovnej pruhy: dutý hřídel 40/30 mm váží jen 44 % plného, ale má 68 % jeho průřezového modulu.

✗Když zdvojnásobím průměr hřídele, unese dvakrát větší moment.
✓Unese osmkrát větší moment.

Wk = π · d³ / 16 roste s třetí mocninou průměru: 2³ = 8.

Krut zkrucuje součást kolem osy. τk = Mk / Wk, pro kruh Wk = πd³/16. Moment z výkonu Mk = P / ω. Napětí je největší na povrchu, proto dutý hřídel ušetří materiál.

Pevnost a tuhost

O čem to je

U hřídele se kontrolují dvě věci. Pevnost: nesmí se ulomit. Tuhost: nesmí se příliš zkroutit – u dlouhých hřídelů obráběcích strojů nebo pojezdů jeřábů by se konce točily nesouhlasně.

Nové pojmy

Krut a krouticí moment MkKrut = namáhání zkroucením kolem osy. Mk (N·m) je moment, který zkrucuje.Kloubový hřídel auta.
Napětí v krutu τkSmykové napětí τk = Mk / Wk (MPa).Dovolené τ_D pro hřídele bývá desítky MPa.
Wk a JpWk (mm³) – průřezový modul v krutu, pro pevnost: plný kruh π · d³ / 16. Jp (mm⁴) – polární moment průřezu, pro tuhost: plný kruh π · d⁴ / 32.d = 25 mm: Wk ≈ 3 068 mm³, Jp ≈ 38 350 mm⁴.
Úhel zkroucení φO kolik se jeden konec hřídele pootočí vůči druhému: φ = Mk · l / (G · Jp) v radiánech. G je modul pružnosti ve smyku (ocel ≈ 80 000 MPa).1 rad ≈ 57,3°.

Postup

Z výkonu a otáček spočítej Mk = P / (2 · π · n).
Pevnost: τk = Mk / Wk ≤ τ_D, nebo návrh d = ∛(16 · Mk / (π · τ_D)).
Tuhost: φ = Mk · l / (G · Jp) a porovnej s dovoleným úhlem.
Zvol průměr, který splní obě podmínky, a zaokrouhli nahoru.
Hřídel d = 25 mm, l = 1 m, Mk = 72,4 N·m, G = 80 000 MPa. Jaký je úhel zkroucení?
Jp = π · 25⁴ / 32 ≈ 38 350 mm⁴. φ = 72 400 · 1 000 / (80 000 · 38 350) ≈ 0,023 6 rad ≈ 1,35°.
Navrhni plný hřídel pro Mk = 200 N·m, τ_D = 40 MPa.
d = ∛(16 · 200 000 / (π · 40)) = ∛25 465 ≈ 29,4 mm. Zvolíme d = 30 mm.
Plný d = 40Dutý 40/30
plocha (hmotnost)1 257 mm²550 mm² (44 %)
Wk12 566 mm³8 590 mm³ (68 %)
Wk mezikružíDutý hřídel s vnějším D a vnitřním d: Wk = π · (D⁴ − d⁴) / (16 · D).40/30 mm: Wk ≈ 8 590 mm³.
✗Wk = π · d³ / 32, stejně jako u ohybu.
✓V krutu je Wk = π · d³ / 16 – dvakrát větší než Wo v ohybu.

Plete se to často. Zapamatuj si: krut 16, ohyb 32.

Pevnost v krutu: τk = Mk / Wk ≤ τ_D, Wk = πd³/16. Tuhost: φ = Mk · l / (G · Jp), Jp = πd⁴/32. Dutý hřídel je lehčí při malé ztrátě pevnosti.
🌉Ohyb🏎️Kinematika: pohyb přímočarý a otáčivý