🏎️ Kinematika: pohyb přímočarý a otáčivý

Auto a soustruh

O čem to je

Auto se rozjíždí na křižovatce, vřeteno soustruhu se točí, výtah zpomaluje u patra. Kinematika popisuje, jak se tělesa pohybují: jak rychle, jak dlouho a jakou dráhu urazí. Neptá se zatím, proč se tak pohybují.

Nové pojmy

Dráha s a čas tDráha je délka, kterou těleso urazí (m). Čas v sekundách (s).Auto ujede 100 m za 5 s.
Rychlost vDráha za jednotku času: v = s / t (m/s). Převod: km/h ÷ 3,6 = m/s.72 km/h = 20 m/s.
Zrychlení aO kolik se rychlost změní za 1 s, v m/s². Záporné zrychlení = zpomalování (brzdění).Auto z 0 na 20 m/s za 10 s: a = 2 m/s².
Pohyb rovnoměrný a rovnoměrně zrychlenýRovnoměrný: rychlost se nemění. Rovnoměrně zrychlený: rychlost roste (nebo klesá) stále stejně: v = v₀ + a · t.Pásový dopravník jede rovnoměrně, auto při rozjezdu zrychluje.

Graf rychlosti

Rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu v čase je přímka v = v₀ + a · t. Posuvník k tu znamená zrychlení a, posuvník q počáteční rychlost v₀. Zkus k záporné – to je brzdění.

Dráha zrychleného pohybus = v₀ · t + ½ · a · t².Z klidu s a = 2 m/s² za 5 s: s = 25 m.

Otáčivý pohyb

Otáčky n a úhlová rychlost ωOtáčky n = počet otáček za minutu (min⁻¹) nebo za sekundu (s⁻¹). Úhlová rychlost ω = 2 · π · n (rad/s, n v s⁻¹). Radián (rad) je jednotka úhlu: celá otáčka = 2π rad.1 500 min⁻¹ = 25 s⁻¹, ω ≈ 157 rad/s.
Obvodová rychlostRychlost bodu na obvodu: v = ω · r = π · d · n. U obrábění se jí říká řezná rychlost.Obrobek d = 80 mm při 600 min⁻¹: v ≈ 2,5 m/s.
Auto jede 72 km/h a brzdí se zpomalením 5 m/s². Za jak dlouho a na jaké dráze zastaví?
v₀ = 72 / 3,6 = 20 m/s. t = v₀ / a = 20 / 5 = 4 s. s = 20 · 4 − ½ · 5 · 4² = 80 − 40 = 40 m.
Soustružíš obrobek d = 80 mm při 600 min⁻¹. Jaká je řezná rychlost v m/min?
v = π · d · n = π · 0,08 · 600 ≈ 150,8 m/min (= 2,51 m/s).
✗Body na obvodu a blízko středu kotouče mají stejnou rychlost, protože se kotouč točí jako celek.
✓Stejnou mají úhlovou rychlost ω. Obvodová rychlost v = ω · r roste se vzdáleností od středu.

Bod na obvodu urazí za otáčku delší kružnici.

Rovnoměrný pohyb: v = s / t. Zrychlený: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t². Otáčení: ω = 2πn, obvodová rychlost v = ω · r = π · d · n.

Přímý a otáčivý pohyb vedle sebe

O čem to je

Přímočarý a otáčivý pohyb se popisují úplně stejnými vztahy – jen se vymění veličiny. Když umíš jeden, umíš oba. To se hodí u motorů, převodů, kol vozidel i navijáků.

Nové pojmy

KinematikaČást mechaniky, která popisuje pohyb (dráhu, rychlost, zrychlení), ale neřeší jeho příčiny.Výpočet brzdné dráhy.
Rychlost a zrychleníRychlost v = změna dráhy za čas (m/s). Zrychlení a = změna rychlosti za čas (m/s²).a = 3 m/s²: každou sekundu o 3 m/s rychleji.
Úhel otočení φO jaký úhel se těleso otočí, v radiánech. Jedna otáčka = 2π rad.10 otáček = 20π ≈ 62,8 rad.
Úhlová rychlost ω a úhlové zrychlení εω (rad/s) = změna úhlu za čas. ε (rad/s²) = změna ω za čas.Motor se rozběhne na 157 rad/s za 3 s: ε ≈ 52 rad/s².

Tabulka dvojic

Přímočarý pohybOtáčivý pohyb
dráha s (m)úhel φ (rad)
rychlost v (m/s)úhlová rychlost ω (rad/s)
zrychlení a (m/s²)úhlové zrychlení ε (rad/s²)
v = v₀ + a · tω = ω₀ + ε · t
s = v₀ · t + ½ · a · t²φ = ω₀ · t + ½ · ε · t²

Spojení obou pohybů: bod na obvodu kola o poloměru r má v = ω · r a tečné zrychlení a = ε · r.

Převeď jednotky: km/h na m/s (÷ 3,6), min⁻¹ na s⁻¹ (÷ 60).
Rozhodni: rovnoměrný, nebo rovnoměrně zrychlený pohyb?
Vyber vztah, ve kterém je jen jedna neznámá.
Dosaď a vypočítej, výsledek převeď do požadované jednotky.
Motor se z klidu rozběhne na 1 500 min⁻¹ za 3 s rovnoměrně. Jaké je úhlové zrychlení a kolik otáček udělá při rozběhu?
ω = 2π · 25 ≈ 157,1 rad/s. ε = 157,1 / 3 ≈ 52,4 rad/s². φ = ½ · 52,4 · 3² ≈ 235,6 rad. Otáček: 235,6 / 2π ≈ 37,5.
Výtah se rozjíždí se zrychlením 1 m/s² na rychlost 2 m/s. Jak dlouho a na jaké dráze se rozjíždí?
t = v / a = 2 / 1 = 2 s. s = ½ · 1 · 2² = 2 m.
  • km/h → m/s – ÷ 3,6
  • min⁻¹ → s⁻¹ – ÷ 60
  • ω z otáček – ω = 2 · π · n
  • obvodová rychlost – v = ω · r = π · d · n
  • 1 otáčka – 2π rad
✗ω = 2 · π · n, kde dosadím n přímo v min⁻¹.
✓V ω = 2 · π · n musí být n v s⁻¹. Z min⁻¹ nejdřív vyděl 60 (nebo použij ω = π · n / 30).

Jinak vyjde ω šedesátkrát větší.

Otáčivý pohyb má stejné vztahy jako přímočarý: φ ↔ s, ω ↔ v, ε ↔ a. Spojení: v = ω · r. Před dosazením vždy převeď jednotky (km/h, min⁻¹).
🔁Krut🚀Dynamika: síla, práce, výkon, účinnost