🏠 Hranoly

Komínky

O čem to je

Vezmi balíček stejných kartiček a polož je na sebe. Vznikne komínek – dole i nahoře stejný tvar, boky rovné. Tak vypadá hranol.

Hranol je krabice od mléka, toblerone, tužka (šestiboká), bazén nebo stan. Zjistíš, kolik se do něj vejde a kolik materiálu je potřeba na jeho povrch.

Nové pojmy

HranolTěleso se dvěma stejnými rovnoběžnými „patry“ (dole a nahoře), spojenými rovnými boky.Krabice od Toblerone je hranol s trojúhelníkem dole i nahoře.
PodstavaSpodní (a stejná horní) stěna hranolu. Podle jejího tvaru se hranol jmenuje.Podstava trojúhelník → trojboký hranol. Obdélník → čtyřboký (kvádr).
PlášťVšechny boční stěny dohromady – „obal“ kolem dokola. U kolmého hranolu jsou boční stěny obdélníky.Etiketa kolem krabice.
Výška hranolu (v)Vzdálenost mezi spodní a horní podstavou – jak vysoký je komínek.Výška krabice od mléka je asi 20 cm.

Objem: kolik pater

Kvádr s dnem 5 × 4 cm: na dno se vejde 20 kostiček 1 cm³. Nastav mřížku 5 × 4 a spočítej je. Je-li hranol vysoký 3 cm, jsou to 3 patra: 20 · 3 = 60 cm³.

U každého hranolu je to stejné: kolik se vejde do jednoho patra (obsah podstavy) × kolik je pater (výška).

Bazén má dno 10 m × 4 m a hloubku 2 m. Kolik m³ vody se vejde?
Obsah dna 10 · 4 = 40 m². Krát výška: 40 · 2 = 80 m³. Protože 1 m³ = 1 000 litrů, je to 80 000 litrů.

Povrch: rozbal krabici

Rozstřihni krabici a rozlož ji na stůl. Uvidíš 2 podstavy a plášť. Plášť po rozložení tvoří jeden dlouhý obdélník: jeho délka je obvod podstavy (dokola) a šířka je výška hranolu.

Hranol má podstavu s obvodem 20 cm a výšku 6 cm. Jaký je obsah pláště?
Plášť = obdélník 20 × 6 cm. 120 cm².
✗Trojboký hranol má 3 stěny, protože je „troj“.
✓Má 5 stěn: 3 boční + 2 podstavy.

„Trojboký“ říká, kolik má boků. K nim patří ještě dno a víko.

Hranol = dvě stejné podstavy a plášť. Objem = obsah podstavy · výška. Povrch = 2 podstavy + plášť.

Vzorce

O čem to je

Truhlář, který dělá krmítko, nebo inženýr, který plánuje betonový sloup, potřebují přesný výpočet. U hranolu se vše počítá třemi vzorci. Stačí pochopit, co v nich znamenají písmena.

Nové pojmy

HranolTěleso se dvěma shodnými rovnoběžnými podstavami a bočními stěnami (u kolmého hranolu obdélníky).Kvádr je čtyřboký hranol.
Sp – obsah podstavyPlocha jedné podstavy. Počítá se podle jejího tvaru (trojúhelník, obdélník…).Podstava pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 a 4 cm: Sp = 3 · 4 : 2 = 6 cm².
Spl – obsah pláštěSoučet obsahů všech bočních stěn.U kvádru jsou to 4 boky.
Odvěsny a přeponaV pravoúhlém trojúhelníku jsou odvěsny dvě strany u pravého úhlu, přepona je nejdelší strana naproti němu.Trojúhelník 3, 4, 5 cm: odvěsny 3 a 4, přepona 5.

Tři vzorce

covzorecjednotka
objemV = Sp · vcm³
plášťSpl = obvod podstavy · vcm²
povrchS = 2 · Sp + Splcm²

Postup

Zjisti, jaký tvar má podstava.
Spočítej obsah podstavy Sp.
Spočítej obvod podstavy (součet jejích stran).
Objem: Sp · v.
Plášť: obvod · v.
Povrch: 2 · Sp + plášť.
Trojboký hranol: podstava je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 cm a 4 cm (přepona 5 cm), výška hranolu 10 cm. Spočítej objem a povrch.
Sp = 3 · 4 : 2 = 6 cm². V = 6 · 10 = 60 cm³. Obvod podstavy 3 + 4 + 5 = 12 cm. Spl = 12 · 10 = 120 cm². S = 2 · 6 + 120 = 132 cm².
Kolik hran a stěn má šestiboký hranol?
Hrany: 6 dole + 6 nahoře + 6 svislých = 18. Stěny: 6 bočních + 2 podstavy = 8.

Obecně: n-boký hranol má n + 2 stěn, 3 · n hran a 2 · n vrcholů. Ověř si to na kartičkách.

  • trojboký hranol – 5 stěn, 9 hran, 6 vrcholů
  • čtyřboký (kvádr) – 6 stěn, 12 hran, 8 vrcholů
  • šestiboký hranol – 8 stěn, 18 hran, 12 vrcholů
  • 1 m³ – 1 000 litrů
✗Povrch hranolu = Sp + Spl.
✓S = 2 · Sp + Spl

Hranol má podstavy dvě – dno i víko. Na jednu se často zapomíná.

V = Sp · v. Plášť = obvod podstavy · v. Povrch = 2 · Sp + plášť.
🔷Rovnoběžníky a lichoběžník