🧊 Krychle a kvádr

Kostkami

O čem to je

Krabice od bot, cihla, akvárium, hrací kostka. To jsou tělesa – mají délku, šířku i výšku. Nejčastější z nich jsou krychle a kvádr.

U krabice se ptáme na dvě věci: kolik se do ní vejde a kolik papíru potřebuješ na zabalení. To první je objem, to druhé povrch.

Nové pojmy

KvádrTěleso jako krabice: 6 stěn, každá je obdélník, protější stěny jsou stejné.Cihla, krabice od bot, akvárium.
KrychleKvádr, který má všechny hrany stejně dlouhé. Všech 6 stěn jsou stejné čtverce.Hrací kostka.
Stěna, hrana, vrcholStěna je plochá strana tělesa. Hrana je čára, kde se dvě stěny potkají. Vrchol je roh. Kvádr má 6 stěn, 12 hran a 8 vrcholů.Spočítej je na krabici od mléka.
ObjemKolik místa těleso zabírá – kolik se do něj vejde. Měří se v krychličkách, např. cm³ (krychlový centimetr = kostička 1 × 1 × 1 cm).Do krabice se vejde 24 kostiček → objem 24 cm³.
PovrchObsah všech stěn dohromady – kolik papíru potřebuješ na obalení. Měří se ve čtverečcích, např. cm² (čtverec 1 × 1 cm).Obal krychle 3 × 3 × 3 cm má 54 cm².

Objem: plníme kostkami

Krabice má dno 4 cm × 3 cm a výšku 2 cm. Na dno se vejde 4 · 3 = 12 kostiček. Nastav si mřížku 4 × 3 a spočítej je.

Výška 2 cm = dvě patra po 12 kostkách: 12 · 2 = 24 cm³. Objem je tedy délka · šířka · výška.

Povrch: balíme dárek

Kvádr má 3 páry stejných stěn: dno a víko, přední a zadní, levou a pravou. Pro krabici 4 × 3 × 2 cm:

  • dno a víko: 2 · (4 · 3) = 24 cm²
  • přední a zadní: 2 · (4 · 2) = 16 cm²
  • boky: 2 · (3 · 2) = 12 cm²
  • dohromady: 24 + 16 + 12 = 52 cm²
Krychle má hranu 3 cm. Jaký má objem a povrch?
Objem: 3 · 3 · 3 = 27 cm³. Jedna stěna 3 · 3 = 9 cm², stěn je 6: 6 · 9 = 54 cm².
Kolik litrů vody se vejde do akvária 50 × 30 × 40 cm?
1 litr je kostka 10 × 10 × 10 cm (1 dm³). Převeď na dm: 50 cm = 5 dm, 30 cm = 3 dm, 40 cm = 4 dm. Objem 5 · 3 · 4 = 60 dm³ = 60 litrů.
✗Když hranu krychle zdvojnásobím, objem se zdvojnásobí.
✓Objem se zvětší 2 · 2 · 2 = 8krát.

Zdvojnásobí se délka, šířka i výška zároveň. Krychle 2 × 2 × 2 má 8 kostiček, ne 2.

Objem = kolik se vejde (cm³), u kvádru a · b · c. Povrch = obal ze 6 stěn (cm²).

Vzorce a jednotky

O čem to je

Stavař potřebuje vědět, kolik betonu objednat. Malíř, kolik barvy koupit na stěny. Obojí se u kvádru spočítá rychle pomocí dvou vzorců – a důležité je nesplést si jednotky.

Nové pojmy

Kvádr a krychleKvádr je těleso se 6 obdélníkovými stěnami (krabice). Krychle je kvádr se všemi hranami stejnými (kostka).Cihla je kvádr, kostka cukru je krychle.
Rozměry a, b, cDélka, šířka a výška kvádru – délky tří hran, které vycházejí z jednoho rohu. U krychle jsou všechny stejné, značí se a.Krabice 2 × 3 × 4 cm: a = 2, b = 3, c = 4.
Objem V a povrch SV = kolik místa těleso zabírá (jednotky cm³, dm³, m³). S = součet obsahů všech stěn (jednotky cm², dm², m²).Objem je „kolik vody“, povrch je „kolik obalu“.
LitrJednotka objemu pro tekutiny. 1 litr = 1 dm³ – krychle 10 × 10 × 10 cm.1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³

Vzorce

objem Vpovrch S
krychlea · a · a6 · a · a
kvádra · b · c2 · (a·b + b·c + a·c)

Proč 2 · (…)? Kvádr má tři dvojice stejných stěn: a·b (dno a víko), b·c a a·c (boky). Každý obsah je tam dvakrát.

Postup výpočtu

Zapiš rozměry a zkontroluj, že jsou ve stejných jednotkách.
Dosaď do vzorce.
Spočítej.
Připiš správnou jednotku: objem „na třetí“ (cm³), povrch „na druhou“ (cm²).
Kvádr 2 × 3 × 4 cm. Objem a povrch?
V = 2 · 3 · 4 = 24 cm³. S = 2 · (2·3 + 3·4 + 2·4) = 2 · (6 + 12 + 8) = 2 · 26 = 52 cm².
Kolik cm³ je 2,5 dm³?
1 dm³ = 1 000 cm³. 2,5 · 1 000 = 2 500 cm³.

Převody objemu

jednotkakolik menších
1 m³1 000 dm³
1 dm³ = 1 l1 000 cm³
1 cm³ = 1 ml1 000 mm³

Proč 1 000, a ne 10? 1 dm = 10 cm, a krychle 1 dm³ má 10 · 10 · 10 = 1 000 kostiček po 1 cm³.

Vyzkoušej: otoč kartičku a zkontroluj odpověď.

  • 1 l = ? dm³ – 1 dm³
  • 1 dm³ = ? cm³ – 1 000 cm³
  • 1 m³ = ? l – 1 000 l
  • Krychle: stěny, hrany, vrcholy – 6, 12, 8
✗Objem kvádru 2 × 3 × 4 cm je 24 cm².
✓Objem je 24 cm³.

Objem vyplňuje prostor (tři rozměry) – jednotka je krychlová (³). Čtvereční (²) je pro plochu a povrch.

Krychle: V = a · a · a, S = 6 · a · a. Kvádr: V = a · b · c, S = 2 · (ab + bc + ac). 1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³.
🧃Objem a jednotky objemu