🚀 Speciální teorie relativity

Myšlenkový pokus

O čem to je

Jedeš ve vlaku 100 km/h a hodíš míček dopředu rychlostí 20 km/h. Pro člověka na nástupišti letí míček 120 km/h. Rychlosti se sčítají – tak to známe. Jenže se světlem to nefunguje. Ať se pohybuješ jakkoli, světlo ti vždy letí stejnou rychlostí.

Albert Einstein v roce 1905 domyslel, co z toho plyne: čas a délky nejsou pro všechny stejné. Bez této opravy by GPS v mobilu ukazovala polohu o kilometry vedle.

Nové pojmy

Rychlost světla cRychlost světla ve vakuu: c ≈ 3 · 10⁸ m/s (300 000 km/s). Žádné těleso s hmotností ji nemůže dosáhnout.
Inerciální soustavaMísto pozorování, které se pohybuje rovnoměrně přímočaře (nebo stojí) – nezrychluje a netočí se.Vlak jedoucí rovně stálou rychlostí, nástupiště.
Postuláty speciální teorie relativity1. Princip relativity: fyzikální zákony jsou stejné ve všech inerciálních soustavách. 2. Stálá rychlost světla: rychlost světla ve vakuu je ve všech inerciálních soustavách stejná.

Raketa a záblesk

Raketa letí rychlostí 0,6c a vyšle světlo dopředu. Podle „selského rozumu“ by ho pozorovatel na Zemi naměřil 1,6c. Naměří ale přesně c. Aby to platilo pro oba, musí se pro ně lišit plynutí času a délky.

Dilatace časuHodiny, které se vůči tobě pohybují, jdou pomaleji než tvoje.Na raketě letící 0,6c uplyne 8 s, na Zemi 10 s.
Kontrakce délkyTěleso, které se vůči tobě pohybuje, naměříš ve směru pohybu kratší.Tyč 10 m letící 0,6c naměříš 8 m.
Relativnost současnostiDvě události, které jsou pro jednoho pozorovatele současné, nemusí být současné pro jiného, který se vůči němu pohybuje.

Jak silný je efekt

Lorentzův faktor γ (gama)Číslo, které říká, kolikrát pomaleji jdou pohybující se hodiny. Při běžných rychlostech je prakticky 1, blízko c roste nade všechny meze.

Vzorec: γ = 1 / √(1 − v²/c²). Pro v = 0,6c: √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8, takže γ = 1/0,8 = 1,25. Dilatace času Δt = γ · Δt₀, kontrakce délky l = l₀ / γ (Δt₀, l₀ = hodnoty naměřené na palubě).

Sleduj, jak γ roste s rychlostí. Při 0,6c je to jen 1,25, ale při 0,99c už přes 7.

Důkaz: miony

Miony jsou částice, které vznikají vysoko v atmosféře (asi 10–15 km) a rozpadají se za pár mikrosekund. Ani rychlostí skoro c by bez dilatace stihly uletět jen několik set metrů. Přesto je na zemi měříme. Jejich „hodiny“ totiž jdou z našeho pohledu mnohokrát pomaleji.

Raketa letí 0,6c (γ = 1,25). Na palubě uplyne 8 s. Kolik uplyne na Zemi?
Δt = γ · Δt₀ = 1,25 · 8 = 10 s.
Tyč o vlastní délce 10 m letí podél své délky 0,6c. Jakou délku naměříme?
l = l₀ / γ = 10 / 1,25 = 8 m.

A ještě jeden důsledek: hmotnost je forma energie, E = m · c². I malá hmotnost odpovídá obrovské energii – to se uvolňuje v jaderných reakcích.

✗Hodiny v raketě jdou pomaleji, protože se porouchají otřesy a rychlostí.
✓Zpomaluje se samotný čas – všechny děje na raketě, včetně stárnutí posádky.

Dilatace není vada hodin. Platí pro atomové hodiny, rozpad částic i srdeční tep. Posádka v raketě nic zvláštního nepozoruje – pomalost vidí jen pozorovatel, vůči kterému se pohybuje.

Rychlost světla je pro všechny inerciální pozorovatele stejná. Proto pohybující se hodiny jdou pomaleji (Δt = γΔt₀) a délky se zkracují (l = l₀/γ). E = mc².

Vzorce

O čem to je

Družice GPS letí asi 14 000 km/h. Jejich hodiny se kvůli pohybu i slabší gravitaci rozcházejí s pozemskými o desítky mikrosekund za den. Bez výpočtu by navigace chybovala o kilometry. Tady se naučíš, jak relativistické efekty spočítat.

Nové pojmy

Inerciální vztažná soustavaSoustava, která nezrychluje ani nerotuje. Speciální teorie relativity platí pro ně.
Postuláty1. Fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních soustavách. 2. Rychlost světla ve vakuu c je ve všech inerciálních soustavách stejná.
Vlastní čas Δt₀ a vlastní délka l₀Vlastní čas naměří hodiny, které jsou s dějem v klidu (na palubě rakety). Vlastní délku naměří pozorovatel, vůči kterému těleso stojí.
Lorentzův faktor γγ = 1 / √(1 − v²/c²). Vždy γ ≥ 1.

Vzorce

JevVztahCo znamená
dilatace časuΔt = γ · Δt₀pozorovatel naměří delší čas
kontrakce délkyl = l₀ / γpohybující se těleso je kratší
ekvivalence hmotnosti a energieE = m · c²hmotnost je forma energie
Vyjádři rychlost jako zlomek c (např. v = 0,6c → v/c = 0,6).
Spočítej v²/c² (0,6² = 0,36).
Odečti od 1 a odmocni: √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.
γ = 1 / 0,8 = 1,25.
Dosaď do vzorce pro čas nebo délku.
Jaký je Lorentzův faktor pro v = 0,8c?
v²/c² = 0,64. √(1 − 0,64) = √0,36 = 0,6. γ = 1 / 0,6 ≈ 1,67.
Kolik energie odpovídá hmotnosti 1 g?
E = m · c² = 10⁻³ · (3 · 10⁸)² = 10⁻³ · 9 · 10¹⁶ = 9 · 10¹³ J – zhruba energie velké elektrárny za den.

Výpočet γ pro 0,6c si prohlédni na pravoúhlém trojúhelníku s přeponou 10: odvěsna 6 odpovídá v/c = 0,6, druhá odvěsna 8 je √(1 − 0,6²) · 10. Proto γ = 10/8 = 1,25.

Z γ je vidět, proč nic hmotného nedosáhne c: pro v → c jde γ do nekonečna a k dalšímu zrychlení by byla potřeba nekonečná energie.

✗Δt = Δt₀ / γ – na Zemi uplyne méně času.
✓Δt = γ · Δt₀ – na Zemi uplyne víc času než na raketě.

γ ≥ 1, a pohybující se hodiny jdou pomaleji. Proto na nich uplyne méně (vlastní čas Δt₀) a pozorovatel naměří víc.

Důkazy: miony z kosmického záření doletí k povrchu jen díky dilataci času; atomové hodiny v letadlech a na družicích (GPS) potvrzují předpovědi.

γ = 1/√(1 − v²/c²), Δt = γΔt₀, l = l₀/γ, E = mc². Současnost je relativní, c nelze dosáhnout.
🔍Geometrická optika💡Kvantová fyzika a atom