🕰️ Mechanické kmitání

Houpačka a pružina

O čem to je

Houpačka jde tam a zpět, tam a zpět. Kyvadlo starých hodin taky. Závaží na pružině poskakuje nahoru a dolů. Struna kytary se chvěje. Všechno to je stejný typ pohybu – pohyb, který se pravidelně opakuje.

Podle kmitání se měří čas (hodiny), ladí hudební nástroje, a inženýři musí kmitání hlídat, aby se nezřítil most.

Nové pojmy

KmitáníPohyb tam a zpět kolem jednoho místa, který se pravidelně opakuje.Houpačka, kyvadlo, závaží na pružině.
OscilátorCokoli, co může kmitat.Pružinový oscilátor = závaží na pružině. Kyvadlo = závaží na niti.
Rovnovážná polohaMísto, kde by oscilátor v klidu zůstal stát.Houpačka visí svisle dolů.
Výchylka a amplitudaVýchylka = jak daleko je oscilátor právě teď od rovnovážné polohy. Amplituda = největší výchylka.Houpačka se vychyluje až 1 m od středu → amplituda 1 m.
Perioda T a frekvence fPerioda = doba jednoho celého kmitu (tam i zpět), v sekundách. Frekvence = počet kmitů za sekundu, v hertzích (Hz). f = 1 / T.Kyvadlo s T = 2 s má f = 0,5 Hz.

Kde je nejrychlejší

Sleduj cyklus závaží na pružině. V krajní poloze se zastaví a otočí – rychlost je nulová, ale pružina táhne nejsilněji (největší zrychlení). Uprostřed proletí nejrychleji.

  1. horní krajní poloha: v = 0, zrychlení největší
  2. rovnovážná poloha: v největší, zrychlení 0
  3. dolní krajní poloha: v = 0, zrychlení největší
  4. rovnovážná poloha: v největší, zrychlení 0

S energií je to stejné: v krajní poloze je všechna energie polohová (napnutá pružina), uprostřed všechna pohybová. Bez tření se celková energie nemění.

Co určuje periodu

Delší kyvadlo kmitá pomaleji. Ale těžší závaží na stejně dlouhé niti kmitá stejně rychle jako lehké! A u malých výchylek nezáleží ani na tom, jak moc ho rozhoupeš. Proto se kyvadla používala v hodinách.

U pružiny naopak: těžší závaží kmitá pomaleji, tužší pružina rychleji.

Oscilátor vykoná 30 kmitů za 10 s. Jaká je perioda a frekvence?
Jeden kmit trvá T = 10 : 30 = 1/3 s ≈ 0,33 s. Frekvence f = 30 : 10 = 3 Hz (kontrola: 1 : ⅓ = 3 ✓).
Perioda kmitání je 0,25 s. Jaká je frekvence?
f = 1 / T = 1 / 0,25 = 4 Hz – čtyři kmity za sekundu.

Rezonance

Vlastní frekvenceFrekvence, kterou oscilátor kmitá sám od sebe, když ho necháš být.
RezonanceKdyž oscilátor postrkuješ přesně v rytmu jeho vlastní frekvence, rozkmitá se čím dál víc.Malé dítě rozhoupe těžkou houpačku, když strká ve správný okamžik.

Rezonance pomáhá (hudební nástroje, ladění rádia), ale umí i škodit: proto se přes most nemá pochodovat do kroku – rytmus kroků by ho mohl rozkmitat.

✗Těžší závaží na kyvadle kmitá pomaleji.
✓Perioda kyvadla nezávisí na hmotnosti závaží, jen na délce a na g.

Těžší závaží táhne Země silněji, ale je i těžší ho rozpohybovat – oba vlivy se přesně vyruší (stejně jako u volného pádu).

Kmitání = pravidelný pohyb tam a zpět. f = 1/T. Uprostřed největší rychlost, v krajní poloze největší zrychlení. Rezonance: buzení vlastní frekvencí rozkmitá oscilátor nejvíc.

Rovnice

O čem to je

Hodinář chce, aby kyvadlo kmitalo přesně jednou za sekundu. Jak dlouhé ho má udělat? Automobilka navrhuje tlumiče: jak tuhé pružiny zvolit? Na to potřebuješ vzorce pro periodu – a ty se tu naučíš.

Nové pojmy

Harmonické kmitáníNejjednodušší kmitání, při kterém se výchylka mění v čase jako funkce sinus – graf vypadá jako pravidelná vlnovka.
Amplituda y_mNejvětší výchylka z rovnovážné polohy (m).
Perioda T a frekvence fT = doba jednoho kmitu (s), f = 1/T = počet kmitů za sekundu (Hz).
Úhlová frekvence ωω = 2π · f = 2π / T, jednotka rad/s. Stejná myšlenka jako úhlová rychlost u kružnice: jeden kmit = 2π rad.
Tuhost pružiny kJakou silou se pružina brání natažení o 1 m. Jednotka N/m. Tvrdá pružina má velké k.k = 100 N/m: natažení o 1 cm vyžaduje sílu 1 N.

Rovnice kmitání

y = y_m · sin(ωt + φ₀). y je výchylka v čase t, φ₀ (počáteční fáze) říká, kde oscilátor byl v čase 0.

Periody oscilátorů

OscilátorPeriodaZávisí na
pružinovýT = 2π √(m / k)hmotnosti závaží a tuhosti pružiny
kyvadlo (malé výchylky)T = 2π √(l / g)délce l a tíhovém zrychlení g

Odmocnina znamená: 4× delší kyvadlo → √4 = 2× delší perioda. 4× těžší závaží na pružině → 2× delší perioda.

Graf ukazuje periodu kyvadla (g = 10 m/s²) pro různé délky. Porovnej 0,4 m a 1,6 m: délka 4×, perioda jen 2×.

Kyvadlo je dlouhé 2,5 m (g = 10 m/s²). Jaká je perioda?
l / g = 2,5 / 10 = 0,25. √0,25 = 0,5. T = 2π · 0,5 = π ≈ 3,14 s.
Kyvadlo délky 0,4 m (g = 10 m/s²). Perioda?
l / g = 0,04, √0,04 = 0,2. T = 2π · 0,2 = 0,4π ≈ 1,26 s.

Energie a rezonance

V krajní poloze je energie celá potenciální (pružnosti nebo tíhová), v rovnovážné celá kinetická. Rychlost je největší v rovnovážné poloze, zrychlení v krajní.

RezonancePrudký nárůst amplitudy, když budicí (vnější) frekvence je rovna vlastní frekvenci oscilátoru.Rozhoupání houpačky, zesílení tónu v těle kytary; nebezpečí pro mosty a stroje.
✗Dvakrát delší kyvadlo má dvakrát delší periodu.
✓Perioda roste s odmocninou délky: 2× delší kyvadlo má √2 ≈ 1,41× delší periodu.

Ve vzorci T = 2π√(l/g) je délka pod odmocninou. Dvojnásobnou periodu dá až 4× delší kyvadlo.

y = y_m sin(ωt + φ₀), ω = 2π/T. Pružina T = 2π√(m/k), kyvadlo T = 2π√(l/g) – nezávisí na hmotnosti ani na amplitudě.
🧊Změny skupenství🌊Mechanické vlnění a zvuk