🧺 Množiny a intervaly

Kruhy a osa

O čem to je

Když uklízíš skříň, třídíš věci do skupin: trička, ponožky, mikiny. Některá věc může patřit do dvou skupin najednou – třeba sportovní tričko je „tričko“ i „věc na trénink“.

Matematika takové skupiny potřebuje pořád: všechna řešení rovnice, všechna čísla větší než 2, žáci, kteří hrají fotbal. Naučíš se je přesně zapsat a počítat s nimi.

Nové pojmy

MnožinaSkupina věcí (nejčastěji čísel), u které jde o každé věci jasně říct, jestli do skupiny patří, nebo ne. Prvky píšeme do složených závorek.A = {2, 4, 6} je množina sudých čísel od 1 do 6.
Prvek (∈)Jedna věc, která v množině je. Zápis 4 ∈ A čteme „4 je prvkem A“. Opak je 5 ∉ A – „5 není prvkem A“.Pro A = {2, 4, 6} platí 4 ∈ A, ale 5 ∉ A.
Vennův diagramObrázek, ve kterém je každá množina nakreslená jako kruh a prvky píšeme dovnitř kruhu.Dva kruhy, které se částečně překrývají – v překryvu jsou prvky, které patří do obou.

Dva kruhy, které se překrývají

Vezmi čísla od 1 do 12. Množina A = násobky 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Množina B = násobky 3 = {3, 6, 9, 12}. Čísla 6 a 12 jsou v obou – patří do překryvu kruhů.

Vyzkoušej: roztřiď čísla do tří částí obrázku – jen v kruhu A, v překryvu, jen v kruhu B.

Průnik (A ∩ B)Jen překryv kruhů: prvky, které jsou v A a zároveň v B.A ∩ B = {6, 12}.
Sjednocení (A ∪ B)Oba kruhy celé: prvky, které jsou aspoň v jedné z množin. Každý prvek píšeme jen jednou. Pomůcka: ∪ vypadá jako hrnek, do kterého nasypeš všechno.A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.
Rozdíl (A ∖ B)Kruh A, ze kterého vykousneš překryv: prvky A, které nejsou v B.A ∖ B = {2, 4, 8, 10}.
Základní množina a doplněk (A′)Základní množina U je všechno, o čem zrovna mluvíme – na obrázku obdélník kolem kruhů. Doplněk A′ je to, co je v obdélníku, ale mimo kruh A.U = {1, 2, …, 6}, A = {2, 4, 6} → A′ = {1, 3, 5}.
Podmnožina (⊂) a prázdná množina (∅)A ⊂ B znamená, že celý kruh A leží uvnitř kruhu B – každý prvek A je i v B. Prázdná množina ∅ nemá žádný prvek a je podmnožinou každé množiny (nemá prvek, který by jinde chyběl).{1, 2} ⊂ {1, 2, 3}.
Třída má 30 žáků. 18 hraje fotbal, 15 volejbal a 7 obojí. Kolik žáků nehraje nic?
Nakresli dva kruhy. Do překryvu napiš 7. Jen fotbal: 18 − 7 = 11. Jen volejbal: 15 − 7 = 8. Aspoň jedno hraje 11 + 7 + 8 = 26 žáků. Nic nehraje 30 − 26 = 4.
✗Hraje aspoň jedno: 18 + 15 = 33 žáků.
✓18 + 15 − 7 = 26 žáků.

Těch 7, kteří hrají obojí, je v čísle 18 i v čísle 15. Sečtením bys je počítal dvakrát. Obecně |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, kde |A| je počet prvků A.

Intervaly: množiny na číselné ose

Číselná osaPřímka, na které má každé číslo své místo. Nula je uprostřed, doprava čísla rostou, doleva klesají.
IntervalVšechna čísla mezi dvěma hranicemi – nejen celá, ale i 2,5 nebo 2,51. Lomená závorka ⟨ ⟩ = krajní číslo patří dovnitř (na obrázku plné kolečko). Kulatá závorka ( ) = krajní číslo nepatří (prázdné kolečko).⟨−2; 3) jsou čísla od −2 včetně do 3, ale trojka už ne.

Najdi na ose −2 a 3. Interval ⟨−2; 3) je celý úsek mezi nimi. Zkus ťuknout na čísla a rozhodni, jestli do něj patří.

Urči ⟨1; 5⟩ ∩ (3; 7).
Nakresli oba intervaly nad jednu osu. Překrývají se od 3 do 5. Trojka do (3; 7) nepatří → kulatá závorka. Pětka patří do obou → lomená. Výsledek (3; 5⟩.
Průnik ∩ = co je v obou, sjednocení ∪ = co je aspoň v jedné, rozdíl A ∖ B = z A vyhodím B. U intervalu lomená závorka = kraj patří, kulatá = nepatří.

Slovník symbolů

O čem to je

Věta „čísla větší než 2, ale nejvýš 5“ je dlouhá. Matematik napíše (2; 5⟩ a každý ví přesně, co myslí. Množiny a intervaly jsou zkratky, které se v dalších letech objeví u každé rovnice: výsledek budeš zapisovat právě takto.

Projdeme si slovník znaků a ke každému postup, jak s ním počítat.

Nové pojmy

MnožinaSoubor objektů, u kterých je jasné, zda do něj patří. Zapisuje se výčtem ve složených závorkách nebo popisem vlastnosti.{1, 2, 3} nebo „přirozená čísla menší než 4“ – je to totéž.
PrvekObjekt, který do množiny patří. Značka ∈ = „je prvkem“, ∉ = „není prvkem“.3 ∈ {1, 2, 3}, 7 ∉ {1, 2, 3}.
Počet prvků |A|Kolik prvků množina má. Svislé čáry tady znamenají „počet“.|{a, b, c}| = 3.

Slovník operací

ZápisČtiVýznam
A ⊂ BA je podmnožinou Bkaždý prvek A je i v B
A ∩ Bprůnikprvky v A a zároveň v B
A ∪ Bsjednoceníprvky v A nebo v B (stačí v jedné)
A ∖ Brozdílprvky A, které nejsou v B
A′doplněkprvky základní množiny U, které nejsou v A
∅prázdná množinamnožina bez prvků
Napiš si prvky obou množin pod sebe.
Průnik: projdi prvky A a nech jen ty, které najdeš i v B.
Sjednocení: opiš všechny prvky A a dopiš ty z B, které tam ještě nejsou.
Rozdíl A ∖ B: z prvků A škrtni ty, které jsou v B.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Urči A ∩ B, A ∪ B a A ∖ B.
V obou jsou 3 a 4 → A ∩ B = {3, 4}. Všechno dohromady → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Z A škrtnu 3 a 4 → A ∖ B = {1, 2}.

Kolik má množina podmnožin

Podmnožinu vyrobíš tak, že u každého prvku rozhodneš: vezmu, nebo nevezmu. U jednoho prvku máš 2 možnosti, u dvou 2 · 2 = 4, u tří 2 · 2 · 2 = 8. Množina s n prvky má 2ⁿ podmnožin (počítá se i ∅ a celá množina).

Vypiš všechny podmnožiny {a, b, c}.
∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} – celkem 8 = 2³.

Intervaly = nerovnosti zapsané zkratkou

NerovnostPorovnání čísel: < menší, ≤ menší nebo rovno, > větší, ≥ větší nebo rovno.x ≤ 5 znamená: x je 5 nebo méně.
Nekonečno (∞)Není to číslo, jen značka „pokračuje to bez konce“. Proto u ∞ je vždy kulatá závorka.x ≥ 2 zapíšeme ⟨2; ∞).
NerovnostIntervalKrajní body
a ≤ x ≤ b⟨a; b⟩oba patří
a < x < b(a; b)nepatří ani jeden
a ≤ x < b⟨a; b)a patří, b ne
x ≥ a⟨a; ∞)a patří
x < b(−∞; b)b nepatří

Zkus si na ose najít interval (−∞; 2) a interval ⟨2; 5⟩. Mají společný nějaký bod?

(−∞; 2) ∩ ⟨2; 5⟩ = ?
První interval končí těsně před 2 (dvojka nepatří). Druhý začíná dvojkou. Žádné číslo není v obou → ∅.
⟨1; 3) ∪ ⟨2; 6⟩ = ?
Intervaly se překrývají (od 2 do 3), takže dohromady tvoří jeden úsek od 1 do 6. Jednička patří, šestka patří → ⟨1; 6⟩.
✗x ≥ 2 → ⟨2; ∞⟩
✓x ≥ 2 → ⟨2; ∞)

∞ není číslo, nemůže do intervalu „patřit“. U nekonečna je vždy kulatá závorka.

∈ prvek, ⊂ podmnožina, ∩ obojí zároveň, ∪ aspoň jedno, ∖ bez. Množina s n prvky má 2ⁿ podmnožin. Interval = nerovnost: ≤ dává ⟨ ⟩, < dává ( ), u ∞ vždy ( ).
🧠Výroková logika