💎 Platónská tělesa

Rukama

O čem to je

Hrací kostka. Krystal kuchyňské soli pod lupou. Krystal kamence, který vyroste ve sklenici jako dva jehlany slepené k sobě. Taková tělesa vypadají ze všech stran stejně. Když je otočíš, nepoznáš, na kterou stěnu se díváš.

Takových dokonale pravidelných těles je jen pět. Znali je staří Řekové a psal o nich filozof Platón, proto se jim říká platónská tělesa. Postavíme je z papíru a uvidíme, proč šesté být nemůže.

Nové pojmy

MnohostěnTěleso, které je ze všech stran ohraničené rovnými plochami ve tvaru mnohoúhelníků (trojúhelníků, čtverců…). Nemá žádnou zakřivenou plochu.Krychle, kvádr nebo jehlan jsou mnohostěny. Koule a válec ne.
Stěna (S)Jedna rovná plocha mnohostěnu.Hrací kostka má 6 stěn – na každé jsou jiné tečky.
Hrana (H)Úsečka, ve které se potkají dvě sousední stěny.Krychle má 12 hran – 4 nahoře, 4 dole a 4 svislé.
Vrchol (V)Roh tělesa – bod, ve kterém se potká několik hran a stěn.Krychle má 8 vrcholů.
Pravidelný mnohoúhelníkMnohoúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly stejně velké.Rovnostranný trojúhelník (úhly 60°), čtverec (90°), pravidelný pětiúhelník (108°).
Platónské těleso (pravidelný mnohostěn)Vypouklý mnohostěn (bez prohlubní), jehož stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky a v každém vrcholu se jich stýká stejně mnoho.Krychle: 6 shodných čtverců, v každém vrcholu 3. Kvádr 2 × 3 × 4 cm ne – jeho stěny nejsou shodné.
Úhly u vrcholuKdyž rozložíš stěny kolem jednoho vrcholu naplocho, jejich úhly se sečtou. Připomenutí: celý kruh kolem bodu je plný úhel 360°.Tři čtverce u rohu krychle: 3 · 90° = 270°.

Stavíme z trojúhelníků

Vystřihni z tvrdého papíru dvacet stejných rovnostranných trojúhelníků. Každý jejich úhel má 60°. Skládej je špičkami k jednomu bodu – to bude vrchol.

3 trojúhelníky: 3 · 60° = 180°. Mezi nimi zbude mezera. Když ji zavřeš, papír se zvedne do špičky. Dokonči těleso a vznikne čtyřstěn – 4 stěny.
4 trojúhelníky: 4 · 60° = 240°. Vznikne osmistěn – 8 stěn, jako dva jehlany slepené podstavou.
5 trojúhelníků: 5 · 60° = 300°. Vznikne dvacetistěn – 20 stěn, skoro kulatý.
6 trojúhelníků: 6 · 60° = 360°. Leží naplocho jako dlaždice. Mezera nezbude, špička nevznikne. Těleso z toho není.

Vyzkoušej si to: nastav úhel 300°. To je pět trojúhelníků u vrcholu. Zbývající mezera 60° se při slepení zavře. Pak nastav 360°. Mezera zmizí a není co ohnout.

Čtverce a pětiúhelníky

Čtverec má úhly 90°. Tři čtverce u vrcholu: 270° – vznikne krychle. Čtyři čtverce: 360° – zase rovina, jako dlažba v koupelně.

Pravidelný pětiúhelník rozdělíš úhlopříčkami z jednoho vrcholu na 3 trojúhelníky. Jejich úhly mají dohromady 3 · 180° = 540°. Jeden úhel pětiúhelníku je 540° : 5 = 108°.

Tři pětiúhelníky u vrcholu: 3 · 108° = 324° – vznikne dvanáctistěn. Čtyři: 432°. To je víc než plný úhel, nevejdou se ani do roviny.

Šestiúhelník má úhly 120°. Už tři dají 360° – rovina, jako včelí plástev. Mnohoúhelníky s víc stranami mají ještě větší úhly. Proto další platónské těleso neexistuje.

TělesoStěnyStěn u vrcholuSoučet úhlů u vrcholu
čtyřstěntrojúhelníky3180°
osmistěntrojúhelníky4240°
dvacetistěntrojúhelníky5300°
krychlečtverce3270°
dvanáctistěnpětiúhelníky3324°
Proč nejde postavit pravidelný mnohostěn ze šestiúhelníků?
Ve vrcholu musí být aspoň 3 stěny, jinak se těleso neuzavře. Úhel šestiúhelníku je 120°. Tři úhly: 3 · 120° = 360°. To je plný úhel, stěny leží v rovině a vrchol se nezvedne. Ze šestiúhelníků těleso nevznikne.
Půjde postavit pravidelné těleso, kde se v každém vrcholu stýkají 4 čtverce?
4 · 90° = 360°. Součet úhlů u vrcholu musí být menší než 360°, aby se stěny zvedly do špičky. Nepůjde – vznikne jen rovná dlažba.

Síť krychle

Síť tělesaVšechny stěny tělesa rozložené vedle sebe do roviny tak, aby z nich šlo těleso složit.Rozstřižená a rozložená krabice od bot.

Krychli složíš ze šesti čtverců, třeba ve tvaru kříže: čtyři v řadě a po jednom nad a pod druhým. Krychle má 11 různých sítí. Zkus jich na čtverečkovaný papír nakreslit co nejvíc.

Nakreslíš síť krychle s hranou 3 cm. Kolik čtverců potřebuješ a kolik cm² papíru zabere?
Krychle má 6 stěn, tedy 6 čtverců. Jeden čtverec má obsah 3 · 3 = 9 cm². Všechny: 6 · 9 = 54 cm². To je povrch krychle.

Platón a čtyři živly

Řecký filozof Platón žil asi v letech 427–347 př. n. l. Řekové tehdy věřili, že svět je ze čtyř živlů: ohně, země, vzduchu a vody. Platón každému živlu přiřadil jedno těleso. Byla to jeho představa, ne poznatek dnešní vědy. Dnes víme, že látky jsou složené z atomů.

  • čtyřstěn – 4 trojúhelníky, 4 vrcholy, 6 hran. U Platóna oheň – ostrý jako plamen.
  • krychle – 6 čtverců, 8 vrcholů, 12 hran. U Platóna země – pevně stojí.
  • osmistěn – 8 trojúhelníků, 6 vrcholů, 12 hran. U Platóna vzduch.
  • dvacetistěn – 20 trojúhelníků, 12 vrcholů, 30 hran. U Platóna voda – nejkulatější, kutálí se.
  • dvanáctistěn – 12 pětiúhelníků, 20 vrcholů, 30 hran. U Platóna celý vesmír.

Otoč kartičky. Nejdřív zkus z hlavy říct, z jakých stěn těleso je.

✗Dvanáctistěn má 12 vrcholů.
✓Dvanáctistěn má 12 stěn, 20 vrcholů a 30 hran.

Název tělesa říká počet stěn, ne vrcholů. 12 vrcholů má dvacetistěn.

Platónských těles je pět: čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn. Víc jich není, protože součet úhlů stěn u vrcholu musí být menší než 360°.

Počítáním

O čem to je

Vezmi kostku cukru a spočítej její rohy, hrany a stěny. Dostaneš 8, 12 a 6. Švýcarský matematik Leonhard Euler si v 18. století všiml, že tahle tři čísla spolu tajně souvisejí.

K čemu to je? Počty u složitých těles zjistíš bez počítání každé hrany. Ověříš, že ses nespletl. A objevíš, proč jsou některá tělesa jako dvojčata.

Nové pojmy

MnohostěnTěleso, které je ze všech stran ohraničené rovnými plochami ve tvaru mnohoúhelníků (trojúhelníků, čtverců…). Nemá žádnou zakřivenou plochu.Krychle, kvádr nebo jehlan jsou mnohostěny. Koule a válec ne.
Stěna (S)Jedna rovná plocha mnohostěnu.Hrací kostka má 6 stěn – na každé jsou jiné tečky.
Hrana (H)Úsečka, ve které se potkají dvě sousední stěny.Krychle má 12 hran – 4 nahoře, 4 dole a 4 svislé.
Vrchol (V)Roh tělesa – bod, ve kterém se potká několik hran a stěn.Krychle má 8 vrcholů.
Pravidelný mnohoúhelníkMnohoúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly stejně velké.Rovnostranný trojúhelník (úhly 60°), čtverec (90°), pravidelný pětiúhelník (108°).
Platónské těleso (pravidelný mnohostěn)Vypouklý mnohostěn (bez prohlubní), jehož stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky a v každém vrcholu se jich stýká stejně mnoho.Krychle: 6 shodných čtverců, v každém vrcholu 3. Kvádr 2 × 3 × 4 cm ne – jeho stěny nejsou shodné.

Pět těles v číslech

TělesoTvar stěnyStěny SHrany HVrcholy VStěn u vrcholu
čtyřstěntrojúhelník4643
krychlečtverec61283
osmistěntrojúhelník81264
dvanáctistěnpětiúhelník1230203
dvacetistěntrojúhelník2030125

Jak hrany a vrcholy spočítat

Vynásob počet stěn počtem stran jedné stěny. Dostaneš strany všech stěn dohromady.
Každá hrana patří dvěma stěnám, takže je započítaná dvakrát. Výsledek vyděl 2 – máš počet hran H.
Každý roh stěny leží v nějakém vrcholu. Počet rohů všech stěn vyděl počtem stěn u vrcholu – máš počet vrcholů V.
Dvanáctistěn má 12 pětiúhelníků a v každém vrcholu se stýkají 3. Kolik má hran a vrcholů?
Stran všech stěn: 12 · 5 = 60. Hrany: 60 : 2 = 30. Rohy stěn jsou také 60, v každém vrcholu jsou 3: 60 : 3 = 20 vrcholů.
Dvacetistěn má 20 trojúhelníků a v každém vrcholu se stýká 5. Kolik má hran a vrcholů?
Stran všech stěn: 20 · 3 = 60. Hrany: 60 : 2 = 30. Vrcholy: 60 : 5 = 12.

Eulerův vztah

Eulerův vztahPro každý vypouklý mnohostěn platí V − H + S = 2 (vrcholy minus hrany plus stěny je vždy 2).Krychle: 8 − 12 + 6 = 2.
Ověř Eulerův vztah pro osmistěn a dvanáctistěn.
Osmistěn: V = 6, H = 12, S = 8. 6 − 12 + 8 = 2. Dvanáctistěn: V = 20, H = 30, S = 12. 20 − 30 + 12 = 2. Platí.
Mnohostěn má 12 vrcholů a 30 hran. Kolik má stěn?
Dosadím do V − H + S = 2: 12 − 30 + S = 2, tedy −18 + S = 2, a proto S = 20. Má 20 stěn – je to dvacetistěn.

Dvojčata: dualita

Podívej se na počty hran. Jsou ve dvojicích.

Duální tělesoTěleso, které vznikne, když doprostřed každé stěny dáš bod a body sousedních stěn spojíš. Počty stěn a vrcholů se přitom vymění, počet hran zůstane.Uvnitř krychle tak vznikne osmistěn.
  • krychle ↔ osmistěn: 6 stěn a 8 vrcholů ↔ 8 stěn a 6 vrcholů, oba 12 hran
  • dvanáctistěn ↔ dvacetistěn: 12 stěn a 20 vrcholů ↔ 20 stěn a 12 vrcholů, oba 30 hran
  • čtyřstěn ↔ čtyřstěn: 4 stěny a 4 vrcholy – je duální sám sobě

Zlatý řez v pětiúhelníku

ÚhlopříčkaPřipomenutí: úsečka, která spojuje dva vrcholy mnohoúhelníku, jež nejsou sousední.Pět úhlopříček pravidelného pětiúhelníku nakreslí pěticípou hvězdu.
Zlatý řez φZvláštní poměr dvou délek: φ = (1 + √5) : 2 ≈ 1,618. Úsečka je rozdělená zlatým řezem, když se celá úsečka má k delší části jako delší část ke kratší.Kreditní karta má strany v poměru blízkém zlatému řezu.

V pravidelném pětiúhelníku je každá úhlopříčka φ-krát delší než strana. Pětiúhelníky tvoří stěny dvanáctistěnu, takže zlatý řez je v něm všude. A dvanáct vrcholů dvacetistěnu leží v rozích tří zlatých obdélníků se stranami v poměru 1 : φ, které se navzájem kolmo protínají.

Pravidelný pětiúhelník má stranu 5 cm. Jak dlouhá je jeho úhlopříčka?
Úhlopříčka = strana · φ = 5 · 1,618 ≈ 8,09 cm. Ověř si to: nakresli pětiúhelník a úhlopříčku změř.

Vyzkoušej si to

Roztřiď tělesa a jejich popisy podle tvaru stěn. Pomoz si tabulkou nahoře.

✗Dvanáctistěn má 12 · 5 = 60 hran.
✓12 · 5 = 60 jsou strany všech stěn. Hran je 60 : 2 = 30.

Každá hrana patří dvěma sousedním stěnám, proto ji v součinu počítáš dvakrát.

Pět platónských těles má počty stěn 4, 6, 8, 12 a 20. Pro všechna platí V − H + S = 2. Krychle a osmistěn i dvanáctistěn a dvacetistěn jsou duální dvojice a v pětiúhelníku dvanáctistěnu se skrývá zlatý řez φ ≈ 1,618.