🔺 Binomická věta

Pascalův trojúhelník

O čem to je

Umíš (a + b)² = a² + 2ab + b². Ale co (a + b)⁵? Roznásobovat pětkrát závorku je zdlouhavé a snadno se splete. Existuje zkratka: čísla, která v rozvoji vyjdou, tvoří krásný trojúhelník.

Binomická věta se používá v pravděpodobnosti (kolik je možností při hodu mincí), ve statistice a umožní třeba spočítat 11⁴ zpaměti.

Nové pojmy

Dvojčlen (binom)Součet dvou členů v závorce.a + b, x + 1, 2x − 3.
RozvojVýsledek po roznásobení mocniny dvojčlenu – součet členů.(a + b)² = a² + 2ab + b² má tři členy.
KoeficientČíslo před písmeny v členu.V 2ab je koeficient 2.

Stavba trojúhelníku

Na kraje každého řádku napiš 1. Každé vnitřní číslo je součet dvou čísel nad ním.

MocninaKoeficienty
(a + b)⁰1
(a + b)¹1 1
(a + b)²1 2 1
(a + b)³1 3 3 1
(a + b)⁴1 4 6 4 1
(a + b)⁵1 5 10 10 5 1

Proč to funguje? (a + b)⁴ = (a + b)³ · (a + b). Každý člen vznikne ze dvou členů předchozího řádku – jednou násobením a, jednou b. Proto se sousedé sčítají.

Jak napsat rozvoj

Koeficienty vezmi z řádku n.
Mocniny a klesají od n do 0.
Mocniny b rostou od 0 do n.
V každém členu je součet exponentů n.
Rozviň (a + b)³.
Řádek 1 3 3 1: a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Spočítej 11⁴ bez kalkulačky.
11 = 10 + 1. Řádek 1 4 6 4 1: 10 000 + 4 000 + 600 + 40 + 1 = 14 641.

Co ještě z trojúhelníku vyčteš

  • Rozvoj (a + b)ⁿ má n + 1 členů – (a + b)⁷ jich má 8.
  • Každý řádek je souměrný (zleva i zprava stejný).
  • Součet řádku n je 2ⁿ: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵.

Sloupce ukazují 5. řádek. Všimni si souměrnosti a toho, že dohromady dají 32.

✗(a + b)³ = a³ + b³
✓(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Mocnina součtu není součet mocnin. Zkouška: (1 + 1)³ = 8, ale 1³ + 1³ = 2.

Pascalův trojúhelník: kraje 1, uvnitř součet dvou čísel nad ním. Řádek n dává koeficienty (a + b)ⁿ; mocniny a klesají, b rostou. Členů je n + 1, součet koeficientů 2ⁿ.

Kombinačními čísly

O čem to je

Pro velkou mocninu – třeba (x + 2)²⁰ – nechceš kreslit 21 řádků trojúhelníku. Potřebuješ vzorec, který dá libovolný člen rozvoje přímo. To je binomická věta.

Spojuje algebru s kombinatorikou: koeficienty jsou počty výběrů.

Nové pojmy

Kombinační číslo C(n, k)Počet způsobů, jak vybrat k věcí z n bez ohledu na pořadí. C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), kde n! = n · (n − 1) · … · 1 a 0! = 1.C(4, 2) = 24 / (2 · 2) = 6; C(6, 3) = 720 / (6 · 6) = 20.
Binomická věta(a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + … + C(n, n)bⁿ.(a + b)² = 1·a² + 2·ab + 1·b².

Proč tam jsou kombinační čísla

(a + b)⁴ = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b). Z každé ze čtyř závorek vybereš buď a, nebo b. Člen a²b² vznikne, když b vybereš ze 2 závorek ze 4. To jde C(4, 2) = 6 způsoby. Proto je koeficient u a²b² roven 6.

Postup: konkrétní člen

Napiš obecný člen: C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ.
Dosaď za a a b celé výrazy i se znaménkem a číslem (např. b = −1 nebo b = 2/x).
Urči k z požadované mocniny x.
Spočítej koeficient.
Koeficient u x² v rozvoji (x + 1)⁴?
Člen C(4, k) · x⁴⁻ᵏ · 1ᵏ. x² potřebuje 4 − k = 2 → k = 2. C(4, 2) = 6.
Koeficient u x v rozvoji (2x + 1)³?
Člen C(3, k) · (2x)³⁻ᵏ · 1ᵏ. Pro x¹: 3 − k = 1 → k = 2. C(3, 2) · 2¹ = 3 · 2 = 6.
Koeficient u x⁴ v rozvoji (x − 1)⁵?
b = −1. Člen C(5, k) · x⁵⁻ᵏ · (−1)ᵏ. x⁴ → k = 1. C(5, 1) · (−1) = −5.
Člen bez x v rozvoji (x + 2/x)⁴?
C(4, k) · x⁴⁻ᵏ · (2/x)ᵏ = C(4, k) · 2ᵏ · x⁴⁻²ᵏ. Bez x: 4 − 2k = 0 → k = 2. C(4, 2) · 2² = 6 · 4 = 24.

Vlastnosti

  • C(n, k) = C(n, n − k) – proto jsou řádky Pascalova trojúhelníku souměrné.
  • Dosaď a = b = 1: (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ = součet všech koeficientů.
  • Rozvoj má n + 1 členů (k jde od 0 do n).

Porovnej: řádek pro n = 6 (C(6, 0) až C(6, 6)) má součet 2⁶ = 64. Prostřední C(6, 3) = 20 je největší.

✗Koeficient u x⁴ v (x − 1)⁵ je 5.
✓Je −5.

Druhý člen dvojčlenu je −1, ne 1. Jeho mocnina (−1)ᵏ dává pro liché k znaménko minus.

(a + b)ⁿ je součet členů C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ pro k = 0 … n. Hledaný člen najdeš z mocniny x; za b dosazuj i se znaménkem. Součet koeficientů je 2ⁿ.
🎲Kombinatorika